Parabel

Parabelen tilhører familien av kurver som vi kaller for kjeglesnitt. Vi kan tenke oss at vi snitter en kjegle på følgende måte:

Snittflatens kant har form som en parabel.

En andregradsfunksjon kan generelt skrives som:

<math>f(x) = ax^2 + bx + c</tex>

Grafen til en andregradsfunksjon er en parabel.

Dersom a er større enn null vender parabelen sin hule side oppover (den "smiler").

Dersom a er mindre enn null vender parabelen sin hule side nedover (den er "sur").

En parabel er symmetrisk om en linje som går gjennom toppunktet eller bunnpunktet.

Symmetrilinjen er gitt ved:

<math>x= \frac{-b}{2a} </tex>

Der a og b er konstantene fra andregradsfunksjonen.

LITT MER OM PARABELEN

Geometrisk sted

Geometrisk er en parabel mengden av alle punkter som ligger like langt fra en gitt linje og et gitt punkt. I matematisk litteratur fremstilles ofte parabelen med toppunktet enten til høyre eller til venstre. Om man tegner en vertikal styrelinje og et vilkårlig punkt F et sted i planet, men ikke på styrelinjen, kan det se slik ut:

Punktet F kalles for brennpunkt (Focal point på engelsk). Over ser vi at toppunktet er lagt i origo og at avstanden fra styrelinjen til toppunktet er lik den fra toppunktet til F, <math> \frac p2</tex>. Et vilkårlig punkt på parabelen kan da uttrykkes ved:

avstand fra styrelinje = avstand fra brennpunkt

<math> \frac p2 + x = \sqrt{(x- \frac p2)^2 + y^2}</tex>

som ordnet gir

<math> y^2 = 2px</tex>

(Dersom du synes det er forvirrende med disse "liggende" parablene kan du bytte x og y og du får en "blid" eller "sur" parabel, avhengig om F ligger over styrelinja eller ikke.)

Et hvert punkt på parabelen vil ha lik avstand til styrelinjen og til punktet F. Det betyr at:

d1 = d1'

d2 = d2'

d3 = d3'

og så videre.

Eksentrisiteten til et kjeglesnitt er gitt som det konstante forholdet:

Avstand til brennpunkt delt på avstand til styrelinje.

Alle parabler har eksentrisitet 1.

Fra figuren ser vi at:

<math> \frac {d1'}{d1} = \frac {d2'}{d2} = \frac {d3'}{d3} = 1</tex>

EKSEMPEL

La oss ta utgangspunkt i funksjonen

<math>f(x) = -0,2x^2</tex>

Vi bytter f (x) med y og får

<math>y = -0,2x^2</tex>

som gir:

<math>x^2 = -5y</tex>

Skriver vi det på formen til likning (1) finner vi p:

<math>x^2 = 2(- \frac 52)y</tex>

<math> \frac p2</tex> er altså <math> \frac{-5}{4}</tex> hvilket betyr at koordinatene til F er <math>(0, \frac{-5}{4})</tex> som betyr at parabelen har sin åpning nedover.

Styrelinjen er parallell med x aksen og går gjennom punktet <math>y = \frac 54</tex>.

Dersom vi bytter om x og y slik man antydet over får man:

<math>y^2 = -5x \\ y^2 = 2(- \frac 52)x</tex>

Som gir en figur som uttrykke det samme i forhold til parabelen:

Så langt har parablene hatt toppunktet i origo.

En mer generell sammenheng finner vi om parabelen har toppunktet i et vilkårlig punkt, P(h,k)

Da gjelder følgende sammenheng:

<math> (y - k)^2 = 2p(x - h)</tex>

(finnes ved samme resonement som over, bare at toppunktet nå ikke ligger i origo)

Eksempel.

Vi undersøker grafen til ligningen: <math>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0</tex>

<math>4y^2 - 8x - 12y + 1 = 0 \\ 4y^2 -12y = 8x - 1 \\y^2 -3y = 2x - \frac 14 \\ y^2 -3y + ( \frac 32)^2 =2x +( \frac 32)^2 - \frac 14 \\ (y- \frac 32)^2 = 2 \cdot 1 \cdot (x+1) </tex>

Vi ser at p =1, h = -1 og k =3/2. Det gir F(-1/2,3/2), Toppunkt i P(-1,3/2), symmetrilinje for y = 3/2 og styringslinje for x = -2.

Refleksjonsegenskaper

Parabelen har spesielle refleksjonsegenskaper. alle stråler som kommer inn parallelt med symmetrilinjen og treffer parabelen reflekteres gjennom brennpunktet. Dette gir grunnlag for parabolantenner, solovner, solkraftverk, speillinser og mye mer.

---