1T 2010 vår LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

Nullpunkt ved regning:

$$\begin{gathered} f(x)=0 \\ -2x+3=0 \\ -2x=-3 \\ x=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Ved inspeksjon ser man at dette stemmer med grafen.

b)

$$\begin{gathered} x^2+8x=-15 \\ {x}^2+8x+15=0 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{8^2-4\cdot 1\cdot 15}}{2\cdot 1} \\ x=\frac{-8\pm 2}{2} \\ x=-5\vee x=-3 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} 5-2^4\cdot (4-3{)}^3\cdot 2^{-3}= \\ 5-16\cdot 1^3\cdot \frac{1}{8}= \\ 5-\frac{16}{8}=3 \end{gathered}$$

d)

$\frac{4a^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}{2a^{-\frac{1}{6}}}=\frac{2^2{a}^{\frac{1}{3}}\cdot a^{\frac{1}{2}}}{2a^{-\frac{1}{6}}}=2^{2-1}{a}^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-(-\frac{1}{6})}=2a^{\frac{2}{6}+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}}=2a$

e)

$$\begin{gathered} f(x)=-2x^3+8x+4 \\ {f}^{\prime }(x)=-6x+8 \\ {f}^{\prime }(1)=-6+8=2 \\ f(1)=10 \\ y=ax+b \\ y=2x+b \\ punktet(1,f(1))\Rightarrow 10=2+b \\ b=8 \\ Likningfortangent:y=2x+8 \end{gathered}$$

f)

Faktoriserer uttrykket ved hjelp av konjugatsetningen og regelen for faktorisering av fullstendig kvadrat, forkorter deretter uttrykket ved å stryke samme faktorer i teller og nevner:

$\frac{x^2-9}{x^2+6x+9}=\frac{(x+3)\cdot (x-3)}{(x+3)(x+3)}=\frac{\cancel{(x+3)}\cdot (x-3)}{\cancel{(x+3)}(x+3)}=\frac{x-3}{x+3}$

g)

$\log (2x+4)=3\log 2\iff \log (2x+4)=\log (2^3)\iff 2x+4=2^3\iff 2x+4=8\iff 2x=8-4\iff 2x=4\iff x=\frac{4}{2}\iff x=2$

h)

1)

Sannsynligheten for at pilen peker enten på blått eller grønt felt når hjulet stopper er:

$P=P(B)+P(Gr)=\frac{3}{8}+\frac{2}{8}=\frac{5}{8}=0,625=62,5\text{percent}$

2)

Sannsynligheten for at pilen peker en gang på gult felt og en gang på grønt felt når hjulet snurres to ganger, er:

$P=P(Gul)\cdot P(Gr))=\frac{1}{8}\cdot \frac{2}{8}=\frac{2\cdot 1}{8\cdot 8}=\frac{2}{64}=\frac{1}{32}=0,03125=3,125\text{percent}$

i)

Oppgave 2

a)

b)

$$\begin{gathered} g(x)=a{x}^2+bx+c \\ g(0)=-4\Rightarrow C=-4 \\ g(x)=a{x}^2+bx-4 \\ g(2)=0\Rightarrow 4a+2b-4=0 \\ g(-2)=0\Rightarrow 4a-2b-4=0 \end{gathered}$$

Legger sammen de to likningene og får:

8a-8=0

a=1

Innsatt i 4a + 2b- 4 = 0

Gir b=0, funksjonsuttrykket blir da

$g(x)=x^2-4$

Del 2

Oppgave 3

a)

Siden trekant $ACD$ er rettvinklet er det greit å finne lengden $AC$ ved hjelp av Pytagoras setning:

$A{C}^2=A{D}^2+C{D}^2\iff AC=\sqrt{A{D}^2+C{D}^2}=\sqrt{(3,0m{)}^2+(5,0m{)}^2}=\sqrt{9,0m^2+25m^2}=\sqrt{34m^2}\approx 5,8m$

b)

Cosinussetningen:

$$\begin{gathered} B{D}^2=(5m{)}^2+(5m{)}^2-2\cdot 5m\cdot 5m\cdot Cos{120}^{\circ }=75m^2 \\ BD=8,7m \end{gathered}$$

c)

Areal trekant ACD: $A=\frac{3,0m\cdot 5,0m}{2}=7,5m^2$

For å finne arealet av de tre andre trekantene trenger man å finne en del størrelser.

Bruker tangens og finner at:

Vinkel CAD = 59,04 grader

Vinkel DCA = 30,96 grader

Det fører til at

Vinkel BAE = 40,96 grader og

Vinkel ACB = 89,04 grader

Trekanten BCD er likebeint hvilket betyr at vinkel CBE = EDC = 30 grader.

Areal trekant BCD: $A=\frac{1}{2}\cdot 5m\cdot 5m\cdot sin{120}^{\circ }=10,83m^2$

Areal trekant ABD: $A=\frac{1}{2}\cdot 3m\cdot \sqrt{75}m\cdot sin{60}^{\circ }=11,22m^2$

Areal trekant ABC: $A=\frac{1}{2}\cdot 5m\cdot 7,6m\cdot sin{50}^{\circ }=14,55m^2$

1)

OVE: ABD + BCD = $11,22m^2+10,83m^2\approx 22,1m^2$

2)

TOMMY: ABC + ACD =$14,55m^2+7,5m^2\approx 22,1m^2$

Oppgave 4

a)

Bruker fartsformelen $s=vt$, der $s$ er strekningen Arne har syklet, $v$ er farten han sykler med, og $t$ er tiden han har brukt:

$$\begin{gathered} s=s_1+s_2=v_1\cdot t_1+v_2\cdot t_2= \\ 12\text{km/t}\cdot \frac{30\text{min}}{60\text{min}}+18\text{km/t}\cdot \frac{15\text{min}}{60\text{min}}= \\ 12\text{km/t}\cdot \frac{1}{2}\text{t}+18\text{km/t}\cdot \frac{1}{4}\text{t}= \\ 6km+4,5km=10,5km\approx 11km \end{gathered}$$

b)

c)

Funksjonsuttrykket for de første 30 minuttene er:

$y=\frac{12}{60}x=\frac{1}{5}x=0,20x$ gjelder når $x\in [0,30]$ (sagt med ord: når $x$ er fra og med 0 til og med 30).

Funksjonsuttrykket for de neste 30 minuttene er:

$y=\frac{18}{60}x=\frac{3}{10}x=0,30x$ gjelder når $x\in ⟨30,60]$(sagt med ord: når $x$ er fra 30 til og med 60).

Oppgave 5

a)

Lager krysstabell, setter inn verdiene fra oppgaven og regner ut de andre slik at tabellen blir fullstendig:

	Briller B	Ikke briller $\overline{B}$	Sum
Kontaktlinser L	$9,7\text{percent}$	$7,2\text{percent}$	$9,7\text{percent}+7,2\text{percent}=16,9\text{percent}$
Ikke kontaktlinser $\overline{L}$	$14,3\text{percent}$	$100\text{percent}-(14,3\text{percent}+7,2\text{percent}+9,7\text{percent})=68,8\text{percent}$	$100\text{percent}-16,9\text{percent}=83,1\text{percent}$
Sum	$24,0\text{percent}$	$100\text{percent}-24,0\text{percent}=76,0\text{percent}$	$100\text{percent}$

b)

Som vi regnet ut i tabellen i a) er sannsynligheten for at en person ikke bruker briller $76,0\text{percent}$.

c)

Sannsynligheten for at en person som bruker briller også bruker kontaktlinser er:

$\frac{9,7\text{percent}\cdot 100}{24\text{percent}}=40,4\text{percent}$

Oppgave 6

a)

b)

Grafen har nullpunkt når $f(x)=0,5x^2-2x=0$. Løser likningen $0,5x^2-2x=0$ for å finne nullpunktene:

$$\begin{gathered} 0,5x^2-2x=0\iff x(0,5x-2)=0. \\ \text{Produktsetningen gir da at x=0 eller 0,5x-2=0. Det vil si at }x=0eller0,5x-2=0 \\ \iff 0,5x=2\iff x=4 \end{gathered}$$.

Altså er $f(x)=0$ når $x=0$ og $x=4$. Dette kan kontrolleres ved å finne verdien av f(x) når x=0, og når x=4 ved å sette inn henholdsvis 0 og 4 for x i likningen:

$f(0)=0,5\cdot 0^2-2\cdot 0=0$

$f(4)=0,5\cdot 4^2-2\cdot 4=0,5\cdot 16-8=8-8=0$

Det stemmer, altså er nullpunktene til funksjonen(på formen $(f(x),x)$): (0,0) og (4,0).

c)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=x-2 \\ {f}^{\prime }(-1)=-1-2=-3 \\ f(-1)=0,5+2=2,5 \\ y=ax+b \\ y=-3x+b \\ 2,5=-3(-1)+b \\ b=-0,5 \\ y=-3x-0,5 \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=1 \\ x-2=1 \\ x=3 \\ f(3)=4,5-6=-1,5 \\ y=ax+b \\ -1,5=1\cdot 3+b \\ b=-4,5 \\ y=x-4,5 \end{gathered}$$

Oppgave 7

Alternativ I

a)

$$\begin{gathered} \left[2y-x^2+2x=a \\ y-2x=3\right] \end{gathered}$$

1)

Når a=6, er likningssettet: $$\begin{gathered} \left[2y-x^2+2x=6 \\ y-2x=3\right] \end{gathered}$$. Dette kan f.eks løses ved å

$$\begin{gathered} \left[2y-x^2+2x=6 \\ y-2x=3|\cdot -2\right]\iff \left[(2y-x^2+2x=6) \\ + \\ (-2y+4x=-6)\right]\iff 2y-2y-x^2+2x+4x=6-6\iff -x^2+6x=0x(6-x)=0\iff x=0ellerx=6 \end{gathered}$$

Hvis x=0, er $y=2x+3=2\cdot 0+3=3$ eller hvis x=6, er $y=2x+3=2\cdot 6+3=15$.

2)

b)

Setter inn x=1 og y=5 i den øverste likningen i likningssettet og løser for a:

$a=2y-x^2+2x=2\cdot 5-1^2+2\cdot 1=10-1+2=11$. Altså må a være lik 11 for at x=1 og y=5 skal være en løsning til likningen.

c)

$$\begin{gathered} 2y-x^2+2x=a\Rightarrow y=0,5x^2-x+\frac{a}{2} \\ y-2x=3\Rightarrow y=2x+3 \\ \text{Setter funksjonene lik hverandre} \\ 0,5x^2-x+\frac{a}{2}=2x+3 \\ 0,5x^2-3x+(\frac{a}{2}-3)=0 \end{gathered}$$

Dersom man får null under rottegnet i abc formelen har man en løsning. Dersom man får et negativt tall under rottegnet har man ingen løsning. To løsninger får man når uttrykket under rottegnet er positivt.

$$\begin{gathered} b^2-4ac=0 \\ 9-4\cdot 0,5(\frac{a}{2}-3)=0 \\ 9-a+6=0 \\ a=15 \end{gathered}$$

Man observerer at når a er større enn 15 er uttrykket negativt og likningsettet har ingen løsning.

Når a = 15 har det en løsning.

Når a er mindre enn 15 har settet to løsninger.

Alternativ II

a)

Vi deler opp arealet i to. Huset består av et kvadrat med areal $a\cdot a=a^2$

og et rektangel med areal $3a(10-a)=30a-3a^2$

Det totale arealet blir da: $a^2+(30a-3a^2)=30a-2a^2$

$a=5\Rightarrow 30\cdot 5-2\cdot 5^2=100$ kvadratmeter

b)

$$\begin{gathered} F(a)=30a-2a^2 \\ F(a)=112 \\ -2a^2+30a-112=0 \\ a=7\vee a=8 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} F(a)=30a-2a^2 \\ {F}^{\prime }(a)=30-4a \\ {F}^{\prime }(a)=0 \\ 30-4a=0 \\ a=7,5 \\ F(7,5)=112,5 \end{gathered}$$

Når a = 7,5m er huset 112,5 kvadratmeter

d)

$$\begin{gathered} -2a^2+30a=72 \\ a=3\vee a=12 \end{gathered}$$

Huset er større enn 72 kvadrat meter når a er større enn 3m og mindre enn 12m