R2 2012 vår LØSNING: Forskjell mellom sideversjoner

← Forrige endring Neste endring →

Sideversjonen fra 5. feb. 2013 kl. 20:59

DEL EN

Oppgave 1

a)

1)

$f (x) = 3 s i n (2 x) u = 2 x, u^{'} = 2 f^{'} (x) = 2 \cdot 3 c o s (2 x) f^{'} (x) = 6 c o s (2 x)$

2)

$g (x) = x^{2} s i n x u = x^{2}, v = s i n x g^{'} (x) = 2 x s i n x + x^{2} c o s x = x (2 s i n x + x c o s x)$

3)

$k (x) = 5 c o s (\frac{π}{12} x - 2) + 7 k^{'} (x) = - \frac{5 π}{12} s i n (\frac{π}{13} x - 2)$

b)

$\int x e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C = \frac{1}{4} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

c)

$\int_{3}^{7} \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x \frac{2 x}{x^{2} + 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 2} 2 x = A (x + 2) + B (x - 2) x = 2 \Rightarrow A = 1 x = - 2 \Rightarrow B = 1 \int_{3}^{7} \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x = \int_{3}^{7} \frac{1}{x - 2} d x + \int_{3}^{7} \frac{1}{x + 2} d x = [l n | x - 2 |]_{3}^{7} + [l n | x + 2 |]_{3}^{7} = l n 5 - l n 1 + l n 9 - l n 5 = l n 3^{2} = 2 l n 3$

d)

$y^{'} - 2 y = 3 y^{'} \cdot e^{- 2 x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 e^{- 2 x} (y e^{- 2 x})^{'} = 3 e^{- 2 x} y e^{- 2 x} = - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + C y = - \frac{3}{2} + C e^{2 x} y (o) = 8 \Rightarrow 8 = - \frac{3}{2} + C \Rightarrow C = \frac{19}{2} y = - \frac{3}{2} + \frac{19}{2} e^{2 x}$

e)

$1 + e^{- x} + e^{- 2 x} + . . . . x > 0$

1)

$k = \frac{e^{- x}}{1} = \frac{e^{- 2 x}}{e^{- x}} = e^{- x}$

$- 1 < e^{- x} < 1$

Dvs: rekken konvergerer.

2)

$S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{1}{1 - e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

Oppgave 2

a)

b)

c)

Oppgave 3

$f (x) = x \cdot e^{x}$

a)

b)

c)

$f^{(n)} (x) = (x + n) e^{x} n = 1 : f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = (1 + x) e^{x}$

Formelen stemmer for n = 1.

Setter n = k og undersøker om formelen stemmer for k + 1:

$f^{(k + 1)} = ((x + k) e^{x})^{'} = (x + k)^{'} e^{x} + (x + k) (e^{x})^{'} = (x + k + 1) e^{x}$

Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.

DEL TO

Oppgave 4

a)

$f (t) = 19 - 4 c o s (\frac{π \cdot t}{180}) f (85) = 19 - 4 c o s (\frac{π \cdot 85}{180}) = 18, 65$

Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.

Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)

b)

Likevektslinjen er 19.

Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet.

Perioden er 360.

Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.

c)

Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:

$f (t) = 18 19 - 4 c o s (\frac{π \cdot t}{180}) = 18 t = 76 \lor t = 256$

Lyset slåes på kl. 18:00 16 mars og 16 september.

d)

Oppgave 5

a)

$t a n (u - v) = \frac{s i n (u - v)}{c o s (u - v)} = \frac{s i n u \cdot c o s v - c o s u \cdot s i n v}{c o s u \cdot c o s v + s i n u \cdot s i n v} = \frac{\frac{s i n u \cdot c o s v}{c o s u \cdot c o s v} - \frac{c o s u \cdot s i n v}{c o s u \cdot c o s v}}{\frac{c o s u \cdot c o s v}{c o s u \cdot c o s v} + \frac{s i n u \cdot s i n v}{c o s u \cdot c o s v}} = \frac{t a n u - t a n v}{1 - t a n u \cdot t a n v}$

b)

$f (x) = t a n (α) = t a n (u - v) = \frac{t a n u - t a n v}{1 - t a n u \cdot t a n v} = \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x}}{1 + \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{x}} = \frac{4 x - x}{x^{2} + 4} = \frac{3 x}{x^{2} + 4}$

c)

$f^{'} (x) = \frac{3 (x^{2} + 4) - 3 x \cdot 2 x}{(x^{2} + 4)^{2}} = \frac{12 - 3 x^{2}}{(x^{2} + 4)^{2}} f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 12 - 3 x^{2} = 0 x = 2 f (2) = \frac{3}{4}$

d)

største synsvinkel:

$\frac{3}{4} = t a n (α) α = 36, 9^{\circ}$

Oppgave 6

a)

$v_{0} = 25 m / s y - f a r t y^{'} - a k s l e r a s j o n y^{'} = k y^{2} B e s t e m m e r k : - 12 = k \cdot 25^{2} k = 0, 02 \frac{d y}{d x} = - 0, 02 y^{2} \int y^{- 2} d y = \int - 0, 02 d x - y^{- 1} = - 0, 02 x + c y = \frac{1}{0, 02 x + c}$

b)

Ved tiden x = 0:

$y = \frac{1}{C} 25 = \frac{1}{C} c = 0, 04$

Farten til båten ved x = 3:

$y (3) = \frac{1}{0, 06 + 0, 04} = 10 m / s$

c)

Båten har forflyttet seg ca. 46 meter på 3 sekunder.

@@ Linje 12: / Linje 12: @@
 <math> f(x) = 3sin(2x)\
-u=2x, \quad u' = 2 \ f'(x) = 2 \cdot 3 cos(2x) \ f'(x) = 6cos(2x)</tex>
+u=2x, \quad u' = 2 \ f'(x) = 2 \cdot 3 cos(2x) \ f'(x) = 6cos(2x)</math>
 ==== 2) ====
-<math>g(x) = x^2sinx \ u= x^2, \quad v = sinx \ g'(x) = 2xsinx + x^2cosx =x(2sinx+xcosx)</tex>
+<math>g(x) = x^2sinx \ u= x^2, \quad v = sinx \ g'(x) = 2xsinx + x^2cosx =x(2sinx+xcosx)</math>
 ==== 3) ====
-<math>k(x) = 5cos(\frac{\pi}{12}x-2)+7 \ k'(x) = - \frac{5 \pi}{12} sin( \frac{\pi}{13}x-2)</tex>
+<math>k(x) = 5cos(\frac{\pi}{12}x-2)+7 \ k'(x) = - \frac{5 \pi}{12} sin( \frac{\pi}{13}x-2)</math>
 === b) ===
-<math>\int xe^{2x}dx = \frac 12 x e^{2x} - \int \frac12 e^{2x}dx \ = \frac 12 x e^{2x} - \frac 14 e^{2x} +C \ = \frac 14 e^{2x}(2x-1) + C</tex>
+<math>\int xe^{2x}dx = \frac 12 x e^{2x} - \int \frac12 e^{2x}dx \ = \frac 12 x e^{2x} - \frac 14 e^{2x} +C \ = \frac 14 e^{2x}(2x-1) + C</math>
 === c) ===
-<math>\int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx \ \frac{2x}{x^2+4} = \frac{A}{x-2}+ \frac{B}{x-2} \ 2x= A(x+2) + B(x-2) \ x=2 \Rightarrow A = 1 \ x= -2 \Rightarrow B=1 \ \int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx =\int^7_3 \frac{1}{x-2}dx  + \int^7_3 \frac {1}{x+2}dx \ = [ln|x-2|]^7_3 + [ln|x+2|]^7_3 \ = ln5-ln1+ln9-ln5 = ln3^2 = 2ln3</tex>
+<math>\int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx \ \frac{2x}{x^2+4} = \frac{A}{x-2}+ \frac{B}{x-2} \ 2x= A(x+2) + B(x-2) \ x=2 \Rightarrow A = 1 \ x= -2 \Rightarrow B=1 \ \int^7_3 \frac{2x}{x^2-4}dx =\int^7_3 \frac{1}{x-2}dx  + \int^7_3 \frac {1}{x+2}dx \ = [ln|x-2|]^7_3 + [ln|x+2|]^7_3 \ = ln5-ln1+ln9-ln5 = ln3^2 = 2ln3</math>
 === d) ===
-<math> y' -2y = 3 \ y' \cdot e^{-2x}-2ye^{-2x} = 3e^{-2x} \ (ye^{-2x})' =3e^{-2x} \ ye^{-2x} = - \frac 32 e^{-2x} + C \ y = - \frac 32 +Ce^{2x} \y(o) = 8 \Rightarrow 8 = - \frac 32 + C \Rightarrow C = \frac{19}{2} \ y = - \frac 32 + \frac{19}{2}e^{2x}</tex>
+<math> y' -2y = 3 \ y' \cdot e^{-2x}-2ye^{-2x} = 3e^{-2x} \ (ye^{-2x})' =3e^{-2x} \ ye^{-2x} = - \frac 32 e^{-2x} + C \ y = - \frac 32 +Ce^{2x} \y(o) = 8 \Rightarrow 8 = - \frac 32 + C \Rightarrow C = \frac{19}{2} \ y = - \frac 32 + \frac{19}{2}e^{2x}</math>
 === e) ===
-<math>1+e^{-x} + e^{-2x}+ .... \quad x > 0</tex>
+<math>1+e^{-x} + e^{-2x}+ .... \quad x > 0</math>
 ==== 1) ====
-<math>k= \frac{e^{-x}}{1} = \frac{e^{-2x}}{e^{-x}} = e^{-x}</tex>
+<math>k= \frac{e^{-x}}{1} = \frac{e^{-2x}}{e^{-x}} = e^{-x}</math>
-<p></p> <math> -1 < e^{-x}<1 </tex>
+<p></p> <math> -1 < e^{-x}<1 </math>
 Dvs: rekken konvergerer.
 ==== 2) ====
-<math>S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac {e^x}{e^x -1}</tex>
+<math>S = \frac{a_1}{1-k} = \frac{1}{1-e^{-x}} = \frac {e^x}{e^x -1}</math>
@@ Linje 51: / Linje 51: @@
 == Oppgave 3 ==
-<math>f(x) = x \cdot e^x</tex>
+<math>f(x) = x \cdot e^x</math>
 === a) ===
-<math>f'(x) = e^x +xe^x = (x+1)e^x \ f''(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x </tex>
+<math>f'(x) = e^x +xe^x = (x+1)e^x \ f''(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x </math>
 === b) ===
 === c) ===
-<math> f^{(n)} (x) = (x+n) e^x \ n = 1: \quad f'(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x</tex><p></p> Formelen stemmer for n = 1.<p></p>
+<math> f^{(n)} (x) = (x+n) e^x \ n = 1: \quad f'(x) = e^x + xe^x = (1+x)e^x</math><p></p> Formelen stemmer for n = 1.<p></p>
 Setter n = k og undersøker om formelen stemmer for k + 1: <p></p>
-<math>f^{(k+1)} = ((x+k)e^x)' = (x+k)'e^x + (x+k)(e^x)' = (x+k+1)e^x</tex> <p></p>
+<math>f^{(k+1)} = ((x+k)e^x)' = (x+k)'e^x + (x+k)(e^x)' = (x+k+1)e^x</math> <p></p>
 Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.
@@ Linje 71: / Linje 71: @@
 == Oppgave 4 ==
 === a) ===
-<math> f(t) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot t}{180}) \ f(85) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot 85}{180}) = 18,65 </tex>
+<math> f(t) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot t}{180}) \ f(85) = 19 -4cos(\frac{\pi \cdot 85}{180}) = 18,65 </math>
 <p></p> Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.
 Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)
@@ Linje 85: / Linje 85: @@
 Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:
 <p></p>
-<math> f(t) = 18 \ 19 - 4cos( \frac{\pi \cdot t}{180}) = 18 \ t=76 \quad \vee \quad t= 256</tex>
+<math> f(t) = 18 \ 19 - 4cos( \frac{\pi \cdot t}{180}) = 18 \ t=76 \quad \vee \quad t= 256</math>
 <p></p>
 Lyset slåes på kl. 18:00 16 mars og 16 september.
@@ Linje 96: / Linje 96: @@
-<math> tan(u-v) = \frac{sin(u-v)}{cos(u-v)}\ = \frac{sin u \cdot cos v - cos u\cdot sinv }{cos u \cdot cos v + sin u \cdot sin v} \ = \frac{ \frac {sin u \cdot cos v}{cos u \cdot cos v} - \frac {cos u \cdot sinv}{cos u \cdot cos v} }{ \frac {cos u \cdot cos v}{cos u \cdot cos v} + \frac{sin u \cdot sin v}{cos u \cdot cos v}} \ = \frac{tan u - tan v}{1 - tan u \cdot tan v}</tex>
+<math> tan(u-v) = \frac{sin(u-v)}{cos(u-v)}\ = \frac{sin u \cdot cos v - cos u\cdot sinv }{cos u \cdot cos v + sin u \cdot sin v} \ = \frac{ \frac {sin u \cdot cos v}{cos u \cdot cos v} - \frac {cos u \cdot sinv}{cos u \cdot cos v} }{ \frac {cos u \cdot cos v}{cos u \cdot cos v} + \frac{sin u \cdot sin v}{cos u \cdot cos v}} \ = \frac{tan u - tan v}{1 - tan u \cdot tan v}</math>
 === b) ===
-<math> f(x) = tan( \alpha) = tan (u - v) = \frac{tan u - tan v}{1 - tan u \cdot tan v} \ = \frac{ \frac 4x - \frac 1x}{1 + \frac 4x \cdot \frac 1x} = \frac{4x-x}{x^2 + 4} = \frac{3x}{x^2 +4}</tex>
+<math> f(x) = tan( \alpha) = tan (u - v) = \frac{tan u - tan v}{1 - tan u \cdot tan v} \ = \frac{ \frac 4x - \frac 1x}{1 + \frac 4x \cdot \frac 1x} = \frac{4x-x}{x^2 + 4} = \frac{3x}{x^2 +4}</math>
 === c) ===
 <math>f'(x)= \frac{3(x^2+4)-3x \cdot 2x}{ (x^2+4)^2} = \frac{12-3x^2}{(x^2+4)^2} \ f'(x)= 0 \Rightarrow  12-3x^2=0 \ x= 2
-\ f(2) = \frac 34</tex>
+\ f(2) = \frac 34</math>
 === d) ===
 største synsvinkel:<p></p>
-<math>\frac 34 =tan( \alpha) \ \alpha = 36,9^{\circ}</tex>
+<math>\frac 34 =tan( \alpha) \ \alpha = 36,9^{\circ}</math>
 == Oppgave 6 ==
@@ Linje 114: / Linje 114: @@
 === a) ===
 <math>v_0 = 25m/s \ y- fart \y' - akslerasjon \ \ y' = ky^2 \ Bestemmer \quad k: \
--12 = k \cdot25^2 \ k = 0,02 \ \ \frac{dy}{dx} = -0,02y^2 \ \int{y^{-2}}dy = \int -0,02dx \ -y^{-1}= -0,02x + c \ y= \frac{1}{0,02x+c}</tex>
+-12 = k \cdot25^2 \ k = 0,02 \ \ \frac{dy}{dx} = -0,02y^2 \ \int{y^{-2}}dy = \int -0,02dx \ -y^{-1}= -0,02x + c \ y= \frac{1}{0,02x+c}</math>
 === b) ===
 Ved tiden x = 0:<p></p>
-<math>y = \frac 1C \ 25 = \frac 1C \ c = 0,04 </tex>
+<math>y = \frac 1C \ 25 = \frac 1C \ c = 0,04 </math>
 <p></p>
 Farten til båten ved x = 3:<p></p>
-<math>y(3) = \frac {1}{0,06 + 0,04} = 10 m/s</tex>
+<math>y(3) = \frac {1}{0,06 + 0,04} = 10 m/s</math>
 === c) ===