Del 1
Oppgave 1
a)
1)
2)
3)
b)
c)
d)
e)
1)
Dvs: rekken konvergerer.
2)
Oppgave 2
a)
b)
c)
. Så
Oppgave 3
a)
b)
Ekstremalpunkter er gitt ved å nullstille den deriverte, altså løse . Siden eksponentialfunksjonen aldri er , må , som gir bunnpunkt i siden den dobbeltderiverte er positiv i . I bunnpunktet er . Vendepunkter finner vi fra nullpunktene til , altså må vi løse , som har løsning . Koordinatet til vendepunktet blir derfor .
c)
Formelen stemmer for .
Setter og undersøker om formelen stemmer for :
Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.
Del 2
Oppgave 4
a)
25.mars svarer til dag etter nyttår. Altså er . Vi har at . Altså begynner det å mørkne ca. kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, ifølge modellen.
b)
Grafisk ser vi at likevektslinjen er . Den største verdien kan ha er , så amplituden blir . Amplituden kan også finnes direkte fra funksjonsuttrykket som absoluttverdien til faktoren foran . Perioden er . Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.
c)
Dette kan leses direkte fra grafen. Vi ser fra grafen over at det er to løsninger. Disse kan regnes ut, slik:
Lyset slåes på kl. 18:00 16. mars og 16. september.
d)
Dagslyset varer lengst i toppunktet til . Det svarer til at , altså når . Da er , så dagslyset varer lengt midt i året, 30.juni.
Oppgave 5
a)
b)
c)
d)
Største synsvinkel:
Oppgave 6
a)
b)
Ved tiden :
Farten til båten ved :
c)

Båten har forflyttet seg ca. meter på sekunder.
Oppgave 7
a)
Teller vi opp antall kvadrater får vi . Hvert kvadrat har areal , så arealet av figuren er .
b)
I hver søyle er det antall kvadrater og hvert kvadrat har et areal , så arealet av hele figuren blir
En alternativ metode er å betrakte problemet geometrisk. Vi ser at arealet av figuren er halvparten av arealet til et kvadrat med sidelengder pluss halvparten av kvadrater med sidelengder , altså er arealet av figuren
Setter vi inn i summeformelen får vi , som stemmer med utregningen i første deloppgave.
c)
.
Geometrisk ser vi at når vokser, så blir arealet av figuren tilnærmet halvparten av arealet av et kvadrat med sider , altså .
Oppgave 8
a)
Punktene , og definerer et plan i . Vi starter med å beregne vektoren mellom punkt og , som blir . Vektoren mellom punkt og blir . Da har planet normalvektor parallell med kryssproduktet mellom de to vektorene:
er dermed gitt som alle punkter slik at
Siden planene og har parallelle normalvektorer, er planene parallelle.
b)
Normalisert normalvektor for planene er .Vi vet at punktet ligger i planet . Fra ligningen for planet ser vi at punktet ligger i . Vi beregner nå vektoren mellom disse to punktene: . Vektoren er altså en vektor mellom to punkter fra de to planene. Projiserer vi denne vektoren ned på enhetsnormalvektoren og tar absoluttverdien får vi avstanden mellom planene:
Avstanden mellom planene og er derfor .
c)
Vi vet at normalvektoren til planene er parallell med linja . Altså er parametrisert med parameter ved at .
d)
ligger i planet , så vi må finne en slik at tilfredsstiller ligningen for planet : . Setter vi inn koordinatene i ligningen får vi at
Da blir . Fremgangsmåten for å finne blir likedan. Vi må finne en slik at tilfredsstiller ligningen for planet : :
Vi får altså at .
e)
Kula har radius , og senter i . Ligningen for kula er .