R2 2011 høst LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

1) Produktregelen gir at $f(x)=x{e}^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(1+x)e^x$.

2) Kjerneregelen gir at $g(x)=2\sin 2x\Rightarrow g^{\prime }(x)=4\cos 2x$.

3) Kjerneregelen gir at $h(x)=2{\sin }^{2}x\Rightarrow h^{\prime }(x)=4\sin x\cos x$

b)

1) Delvis integrasjon gir at $\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$ med integrasjonskonstant $C$.

2) $\int \frac{4}{x^2-4}dx=\int \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}dx=\ln |x-2|-\ln |x+2|+C$

3) Delvis integrasjon gir at $\int \sin x{\cos }^{3}xdx=-{\cos }^{4}x-3\int \sin x{\cos }^{3}xdx$. Samler vi integralene får vi at $\int \sin x{\cos }^{3}xdx=-\frac{1}{4}{\cos }^{4}x+C$

c)

$$\begin{array}{rlr}{S}_1& =1& \\ S_2& =S_1+3& =& 4\\ S_3& =S_2+5& =& 9\\ S_4& =S_3+7& =& 16\\ & ⋮\\ S_n& =\frac{n(2n-1+1)}{2}& =& n^2\end{array}$$

d)

$$\begin{array}{rl}{S}_1& =1\\ S_2& =2^3\\ S_3& =3^3\\ S_4& =4^3\\ & ⋮\\ S_{100}& ={100}^3\end{array}$$

e)

1) Amplituden er $\frac{5-1}{2}=2$. Perioden er avstanden mellom to påfølgende bunnpunkt, omtrent $2\pi$. Likevektslinja er $y=3$.

2) Sammenlignet mellom uttrykket for $f(x)$ er $a=2$ og $d=3$. Setter vi $x=0$ må vi ha at $2\sin \phi +3=4.6$, som gir at $\phi \approx 0.93$. Siden perioden er $2\pi$ må vi ha at $f(x)=f(x+2\pi )$ for alle $x$, så $c=1$. Funksjonen blir altså $f(x)=2\sin (x+0.93)+3$.

f)

Diff.ligningen er separabel så ${\int }_2^{y(t)}\frac{dy}{3y+5}={\int }_0^{t}dt$. Altså er $\ln (3y+5)-\ln 11=3t$. Vi får at $3y+5=11e^{3t}$, så løsningen på initialverdiproblemet blir $y(t)=\frac{11}{3}{e}^{3t}-\frac{5}{3}$. Setter vi inn dette i den opprinnelige ligningen ser vi at løsningen stemmer.

g)

1) $\overrightarrow{AB}=[1,1,2]$ og $\overrightarrow{AC}=[6,3,4]$, og $\overrightarrow{AC}\times \overrightarrow{AC}=[-2,8,-3]$.

2) $[-2,8,-3]\cdot [1,1,2]=-2+8-6=0$ og $[-2,8,-3]\cdot [6,3,4]=-12+24-12=0$, så vektorene står normal på hverandre.

Del 2

Oppgave 2

a)