Integrerende faktor: Forskjell mellom sideversjoner

Siste sideversjon per 1. mai 2013 kl. 02:03

En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen $f^{'} + A (x) f = B (x)$ kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor $e^{\int A (x) d x}$ .

Generell utledning

Vi starter med å gange diff.ligningen over med en foreløpig ukjent funksjon $g = g (x)$ : (Her betyr $A = A (x)$ , $B = B (x)$ etc.)

f^{'} + A f = B \Rightarrow g f^{'} + A g f = g B

Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon $g$ slik at $A g = g^{'}$ , ser vi at ligningen blir:

g f^{'} + g^{'} f = g B

Da gjenkjenner vi venstresida som $(g f)^{'}$ , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen $g$ finner vi enkelt ved å løse ligningen

g^{'} = A g

Dette er en separabel ligning med løsning $g = e^{\int A d x}$ . Vi har altså funnet integrerende faktor.

Eksempler

Eksempel

La oss se på førsteordensligningen $f^{'} + f = 0$ . Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor $e^{x}$ får vi $e^{x} f^{'} + e^{x} f = 0$ . Ligningen kan nå omskrives til $(e^{x} f)^{'} = 0$ eller ekvivalent $\frac{d (e^{x} f)}{d x} = 0$ . Da ser vi at $e^{x} f$ må være konstant, i.e. $e^{x} f = c$ . Ganger vi med $e^{- x}$ får vi at løsningen er $f (x) = c e^{- x} .$ . Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.

@@ Linje 1: / Linje 1: @@
-En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f^,+A(x)f=B(x)</math> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor  $e^{\int A (x) d x}$ .
+En spesiell type førsteordens diff.ligninger på formen <math>f'+A(x)f=B(x)</math> kan løses generelt ved å multiplisere med en såkalt integrerende faktor  $e^{\int A (x) d x}$ .
@@ Linje 8: / Linje 8: @@
-:<math>f^,+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf^,+Agf=gB</math>
+:<math>f'+Af=B\,\, \Rightarrow \,\, gf'+Agf=gB</math>
-Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon  $g$  slik at <math>Ag=g^,</math>, ser vi at ligningen blir:
+Vi ønsker nå å bruke produktregelen for derivasjon til å skrive om venstresida. Dersom vi kan finne en funksjon  $g$  slik at <math>Ag=g'</math>, ser vi at ligningen blir:
-:<math>gf^,+g^,f=gB</math>
+:<math>gf'+g'f=gB</math>
-Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)^,</math> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen  $g$  finner vi enkelt ved å løse ligningen
+Da gjenkjenner vi venstresida som <math>(gf)'</math> , noe som gjør at vi kan løse ligningen ved integrasjon. Funksjonen  $g$  finner vi enkelt ved å løse ligningen
-:<math>g^,=Ag</math>
+:<math>g'=Ag</math>
@@ Linje 31: / Linje 31: @@
 <blockquote style="padding: 1em; border: 3px dotted red;">
-'''Eksempel'''
+'''Eksempel''' <p></p>
-:La oss se på førsteordensligningen <math>f^,+f=0</math>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor  $e^{x}$  får vi <math>e^xf^,+e^xf=0</math>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)^,=0</math> eller ekvivalent  $\frac{d (e^{x} f)}{d x} = 0$ . Da ser vi at  $e^{x} f$  må være konstant, i.e.  $e^{x} f = c$ . Ganger vi med  $e^{- x}$  får vi at løsningen er  $f (x) = c e^{- x} .$ . Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.
+La oss se på førsteordensligningen <math>f'+f=0</math>. Multipliserer vi denne ligningen med integrerende faktor  $e^{x}$  får vi <math>e^xf'+e^xf=0</math>. Ligningen kan nå omskrives til <math>(e^xf)'=0</math> eller ekvivalent  $\frac{d (e^{x} f)}{d x} = 0$ . Da ser vi at  $e^{x} f$  må være konstant, i.e.  $e^{x} f = c$ . Ganger vi med  $e^{- x}$  får vi at løsningen er  $f (x) = c e^{- x} .$ . Merk at ligningen også kan løses som en separabel ligning.
 </blockquote>