Prosentvis vekst over flere perioder

Prosentvis og eksponentiell vekst (vekstfaktor)

Dersom endringen i prosent er den samme hvert år har man en eksponentiell endring og kan bruke følgende formel:

$K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$
$n$ er antall tidsperioder (år)
$K_{0}$ er det man har fra starten av (penger, radioaktive isotoper ol.)
$K_{n}$ er det man har når det har gått n tidsperioder fra man startet
$P$ er den prosent noe vokser eller avtar med

$(1 + \frac{p}{100})$ kalles for vekstfaktoren

Ett stykke lengre nede på siden er det vist hvordan man kommer fram til denne formelen, men først ser vi på et par eksempler som viser bruken av formelen.

Test deg selv

Eksempel

La oss tenke oss at vi sparer kr. 1000,- og at rentefoten er 4,2%. Hvor mye har vi på konto etter 8 år?

Løsning

$K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n} = 1000 (1 + \frac{4, 2}{100})^{8}$

$K_{n} = 1000 (1, 042)^{8} = 1389, 77$

Tallet 1,042 kalles for vekstfaktoren.

Når vekstfaktoren er større enn 1 har man en vekstsituasjon.
Dersom vekstfaktoren er mindre enn 1 har man en reduksjon.

Eksempel

En bil koster 160.000 kr. Den taper seg i verdi med 20% per år. Hva er bilend verdi om fem år?

Løsning

$K_{n} = 160.000 (1 - \frac{20}{100})^{5} = 160.000 \cdot 0, 8^{5}$

Legg merke til at når noe avtar skal det være minus i utrykket for vekstfaktoren: $(1 - \frac{p}{100})$ . Man får en vekstfaktor som er mindre enn en, 0,8. Etter 5 år er bilens verdi ca 52.000 kroner (52.429 kr, men så nøyaktig er man ikke på verdivurdering av biler.)

Eksempel

Hvordan kommer man fram til formelen for eksponentiell vekst?

$K_{n} = K_{0} (1 + \frac{p}{100})^{n}$

La oss se på et eksempel: Man har 1000 kroner i banken i 4 år til en rente på 3%

Første året skjer dette: $K_{1} = 1000 k r (1 + \frac{3}{100}) = 1000 k r \cdot 1, 03 = 1030 k r$

Neste år er det 1030 kroner det skal beregnes renter av, men fra linjen over ser man at 1030kr kan skrives som $1000 k r \cdot 1, 03$ ,Man får da:

K_{2} = 1030 k r \cdot 1, 03 = (1000 k r \cdot 1, 03) \cdot 1, 03 = 1000 \cdot 1, 03^{2} = 1060, 90

Grunnlaget det beregnes av det tredje året er 1060,90 som kan skrives:

$1000 \cdot 1, 03^{2}$ .Man får da:

$K_{3} = (1000 \cdot 1, 03^{2}) \cdot 1, 03 = 1000 \cdot 1, 03^{3}$

Det fjerde året blir da $K_{4} = 1000 \cdot 1, 03^{4} = 1125, 51$

Test deg selv