R2 2014 vår LØSNING

Fra Matematikk.net
Hopp til: navigasjon, søk

DEL 1

Oppgave 1

a) f(x)=sin(3x)

f(x)=3cos(3x)

b) g(x)=e2xcosx

g(x)=2e2xcosx+e2x(sinx)=e2x(2cosxsinx)

Oppgave 2

a) 2xsin(x2)dx

La u=x2

dudx=2xdu=2x dx

2xsin(x2)dx=sinudu=cosu+C=cos(x2)+C

b) 1exlnxdx

La u=lnx og v=x:

1exlnxdx=[lnx12x21x12x2]1e=[12x2lnx12xdx]1e=[12x2lnx1212x2]1e=12[x2lnx12x2]1e=12((e2lne12e2)(12ln11212))=12((e212e2)(012))=12(e22+12)=12e2+12=e2+14

Oppgave 3

f(x)=e2x4ex , Df=\R

f(x)=2e2x4ex

f(x)=4e2x4ex

f(x)=04e2x4ex=04(ex)24ex=04ex(ex1)=0ex1=0ex=1x=0

Vendepunkt: (0 , f(0))=(0 , e204e0)=(0 , 13)=(0 , 3)

Oppgave 4

s(x)=1+(1x)+(1x)2+(1x)3+...

a) |k|<1|1x|<10<x<2

b) s(x)=31+(1x)+(1x)2+(1x)3+...=311(1x)=31x=31=3xx=13

s(x)=131+(1x)+(1x)2+(1x)3+...=131x=13

x3 ettersom denne verdien ligger utenfor rekkens konvergensområde. Likningen har ingen løsning.

Oppgave 5

α: 2x+y2z+3=0

a) Punktet P(3,4,2) ligger ikke i planet α kun dersom punktets koordinater ikke tilfredstiller likningen til planet.

2(3)+(4)2(2)+3=6+44=60 punktet P(3,4,2) ligger ikke i planet α.

Hvilket skulle vises.

b) lαrl=nα

rl=[2,1,2]

l: x=3+2ty=4+tz=22t

c)

2(3+2t)+(4+t)2(22t)+3=06+4t+4+t4+4t+3=09+9t=09t=9t=1

Skjæringspunkt =(3+2(1),4+(1),22(1))=(1,3,4)

d) D=|23+1422+3|22+12+(2)2=|6+44+3|4+1+4=99=93=3

Oppgave 6