DEL 1
Oppgave 1
a)
b)
Oppgave 2
a)
La
b)
La og :
Oppgave 3
Vendepunkt:
Oppgave 4
a)
b)
ettersom denne verdien ligger utenfor rekkens konvergensområde. Likningen har ingen løsning.
Oppgave 5
:
a) Punktet ligger ikke i planet kun dersom punktets koordinater ikke tilfredstiller likningen til planet.
punktet ligger ikke i planet .
Hvilket skulle vises.
b)
:
c)
Skjæringspunkt
d)
Oppgave 6
.
Hvilket skulle vises.
b)
Oppgave 7
METODE 1
Differensiallikningen kan løses med en integrerende faktor.
METODE 2
Differensiallikningen er separabel.
DEL 2
Oppgave 1
a) Setningen forteller at punktene , og bestemmer entydig et plan kun hvis punktene ikke ligger langs en rett linje.
Hvilket skulle vises.
b)
c)
Oppgave 2
a)
punktet ligger på kulen.
b)
sentrum: og radius:
c)
planet som tangerer i :
Oppgave 3
a) At temperaturendringen er proporsjonal med differansen mellom kroppstemperaturen og romtemperaturen, vil si at temperaturendringen er lik en konstant multiplisert med differansen mellom kroppstemperaturen og romtemperaturen.
Ettersom er kroppstemperaturen, vil endringen i denne temperaturen være .
Differansen mellom kroppstemperaturen og romtemperaturen er
Dog vil konstanten ha en definisjonsmengde slik at , ettersom denne praktiske oppgaven kun tillater en negativ endring i temperaturen.
Hvilket skulle vises.
b) Ettersom liket blir funnet etter timer med en kroppstemperatur på , er
Hvilket skulle vises.
c)
d)
Drapet inntraff ca. timer før liket ble funnet. Dette tilsvarer time og minutter. Ettersom liket ble funnet klokken kl. , inntraff drapet ca. kl. .
Oppgave 4
a) Når , konvergerer rekken.
Formelen for summen av en uendelig, konvergerende, geometrisk rekke er
og
Hvilket skulle vises.
b)
Hvilket skulle vises.
c)
Hvilket skulle vises.
d)
Påstanden
er på formen
der
For å vise ved hjelp av induksjon, vises først at stemmer, så at .
Steg 1: stemmer hvis . Dette er ekvivalent med at . Sjekker om det er tilfelle:
Så stemmer.
Steg 2: Antar at stemmer. Dvs at
Legger til på begge sider:
Venstre side i likningen over er lik venstre side i likningen til . Høyre side i likningen over er lik høyre side i likningen til hvis . Dette er ekvivalent med at . Sjekker om det er tilfelle:
Så og dermed stemmer for alle .
Hvilket skulle bevises.
e) I oppgave 4 c) ble det vist at
Oppgave 5
a) Formelen for areal av sirkelsektor er gitt
Hvilket skulle vises.
b)
Hvilket skulle vises.
c)
Oppgave 6
a)
b)
Overflatearealet er hele arealet til omdreiningslegemet, mens kun er verdien til skjæringspunktene mellom omdreiningslegemet og -planet.
Hvilket skulle vises.
c)
Dette resultatet tilsier at når Gabriels horn blir uendelig langt, er limitverdien til hornets volum lik , mens overflatearealet vokser seg større og større mot uendelighet. Illustrasjonen nedenfor oppgaven beskriver det praktiske paradokset om Gabriels horn, som går ut på at det trengs en uendelig mengde maling for å male hele overflatearealet til hornet, mens man kan helle en endelig mengde maling nedi hornet for å fylle dets volum.