S2 2015 vår LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven

Oppgave 1

a)

$f^{\prime }(x)=e^{-2x}\cdot (-2)=-2e^{-2x}$

b)

Brukar brøkregelen med $u=x^2-1$ og $v=x$:

$$g^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }\cdot v-u\cdot v^{\prime }}{v^2}=\frac{2x\cdot x-(x^2-1)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x^2-x^2+1}{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2}$$

c)

Brukar produktregelen til å derivere $(3x+1)\cdot e^x$:

$h^{\prime }(x)=3\cdot e^x+(3x+1)\cdot e^x=(3x+4)e^x$

Oppgave 2

a)

Jeg leser av nullpunktene på grafen:

$x=-3$, $x=-1$ og $x=3$.

Da vet vi at $(x+3)$, $(x+1)$ og $(x-3)$ er faktorer i polynomet $f(x)$.

$f(x)=(x+3)(x+1)(x-3)$

b)

Jeg bruker ett av nullpunktene, f.eks. $x=3$.

Vi vet at $f(x)=0$ for $x=3$:

$$\begin{gathered} f(3)=0 \\ {3}^3+3^2+k\cdot 3+k=0 \\ 27+9+3k+k=0 \\ 4k=-36 \\ k=-9 \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

En rekke er aritmetisk dersom differansen mellom et ledd og leddet foran er konstant.

$a_n-a_{n-1}=d$

b)

Av figuren ser vi at veggen er slik at $1$. rad (fra toppen) består av 1 murstein, 2. rad består av 2 murstein, 3. rad består av 3 murstein osv. Siste raden består av 20 murstein.

Summen av alle mursteinene blir da en aritmetisk rekke:

$1+2+3+\cdots +20$

Differansen $d$ mellom hvert ledd er 1. $a_1=1$ og $n=20$.

Vi bruker formelen for summen av en aritmetisk rekke:

$$\begin{gathered} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \\ {S}_{20}=\frac{1+20}{2}\cdot 20=210 \end{gathered}$$

Mureren vil trenge 210 murstein til denne veggen.

Oppgave 4

a)

$$\begin{array}{rl}x& =0,555\dots \\ & =0,5+0,05+0,005+\dots \\ & =\frac{5}{10}+\frac{5}{100}+\frac{5}{1000}+\dots \\ & =\frac{5}{10}+\frac{5}{{10}^2}+\frac{5}{{10}^3}+\dots \end{array}$$

Dette er en geometrisk rekk med $k=\frac{1}{10}$ og $a_1=\frac{5}{10}$.

Siden $-1<k<1$, vil rekken konvergere med summen

$$\begin{gathered} s=\frac{a_1}{1-k} \\ x=\frac{\frac{5}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{5}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{5}{9} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{array}{rl}y& =0,232323\dots \\ & =0,23+0,0023+0,000023+\dots \\ & =\frac{23}{100}+\frac{23}{10000}+\frac{23}{1000000}+\dots \\ & =\frac{23}{{10}^2}+\frac{23}{{10}^4}+\frac{23}{{10}^6}+\dots \end{array}$$

Dette er en geometrisk rekke med $k=\frac{1}{100}$ og $a_1=\frac{23}{100}$.

Siden $-1<k<1$, vil rekken konvergere med summen:

$$\begin{gathered} s=\frac{a_1}{1-k} \\ y=\frac{\frac{23}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{\frac{23}{100}}{\frac{99}{100}}=\frac{23}{99} \end{gathered}$$

Oppgave 5

a)

$f(-1)=(-1{)}^3+6\cdot (-1{)}^2+9\cdot (-1)+4=-1+6-9+4=0$

Bruker polynomdivisjon til å løse likningen $f(x)=0$.

Siden $f(x)=0$ for $x=-1$, vet vi at divisjonen $f(x):(x+1)$ går opp:

$(x^3+6x^2+9x+4):(x+1)=x^2+5x+4$

Bruker abc-formelen til å løse likningen $x^2+5x+4=0$:

$$\begin{gathered} x=\frac{-5\pm \sqrt{5^2-4\cdot 1\cdot 4}}{2}=\frac{-5\pm \sqrt{9}}{2}=\frac{-5\pm 3}{2} \\ x=-1\vee x=-4 \end{gathered}$$

Nullpunktene til $f$ er $x=-1$ og $x=4$.