R1 2016 høst LØSNING

Løsning laget av mattepratbruker DennisChristensen

Diskusjon av og delvis løsning på denne oppgaven

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=2x^2-5x-6 \\ {f}^{\prime }(x)=4x-5 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=xlnx \\ {g}^{\prime }(x)=lnx+x\cdot \frac{1}{x}=lnx+1 \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=\frac{e^{2x}}{x-3} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{2e^{2x}(x-3)-e^{2x}}{(x-3{)}^2}=\frac{(2x+7)e^{2x}}{(x-3{)}^2} \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} f(x)=0 \\ (x+1{)}^2(x-2) \\ x=-1\vee x=2 \end{gathered}$$

Nullpunkter: (-1, 0) og (2, 0)

b)

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=0 \\ {f}^{\prime }(x)=2(x+1)(x-2)+(x+1{)}^2=(x+1)(3x-3) \\ x=-1\vee x=1 \end{gathered}$$

f'(-2) > 0, f'(0) < 0 og f'(2) > 0 gir toppunkt i ( -1, 0) og minimum for (1,-4 ).

c)

Oppgave 3

a)

$$\begin{gathered} \frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}-\frac{4}{2x-10}= \\ \frac{2x+10}{(x+5)(x-5)}+\frac{x}{x+5}-\frac{4}{2(x-5)}= \\ \frac{4x+20+2x(x-5)-4(x+5)}{2(x+5)(x-5)}= \\ \frac{2x(x-5)}{2(x+5)(x-5)}= \\ \frac{x}{x+5} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} \frac{2x+10}{x^2-25}+\frac{x}{x+5}=\frac{4}{2x-10} \\ 2(2x+10)+2x(x-5)=4(x+5) \\ 4x+20+2x^2-10x=4x+202x^2-10x=0 \\ x=0\vee 2x-10=0 \\ x=0\vee x=5 \end{gathered}$$

Må forkaste x = 5, da det gir null i nevner.

L={ 0 }

En mere elegant og tidsbesparende løsning er å løse svaret fra a lik null:

$\frac{x}{x+5}=0$

som gir x=0 direkte.

Oppgave 4

a)

$$\begin{gathered} 2^{3x-2}-13=3 \\ {2}^{3x-2}=2^4 \\ 3x-2=4 \\ 3x=6 \\ x=3 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} (lgx{)}^2+lgx-2=0 \\ u=lgx \\ {u}^2+u-2=0 \\ ABC-formel \\ u=-2\vee u=1 \\ lgx=-2\vee lgx=1 \\ x=0,01\vee x=10 \end{gathered}$$

Oppgave 5

a)

[ 1, 1] er paralell med AB vektor:

$\left[\begin{array}{r}x=-4+t\\ y=5+t\end{array}\right]$

b)

Skjærer x - aksen betyr at y = 0. Da må t være - 5.

Da blir x = -9

D ( -9, 0)

c)

$$\begin{gathered} [1,1]\cdot [-3+4-t,-2-5-t]=0 \\ 1-t-7-t=0 \\ t=-3 \\ x=-7\wedge y=2 \end{gathered}$$

E ( -7, 2)

Oppgave 6

a)

$$\begin{gathered} P(D|A)=0,04 \\ P(D|B)=0,01 \\ P(A)=\frac{1}{3} \\ P(B)=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Total sannsynlighet for defekt nøkkel

$$\begin{gathered} P(D)=P(A)\cdot P(D|A)+P(B)\cdot P(D|B) \\ P(D)=\frac{1}{3}\cdot 0,04+\frac{2}{3}\cdot 0,01=0,06:3=0,02 \end{gathered}$$

Det er 2% sannsynlig at nøkkelen er deffekt.

b)

$$\begin{gathered} P(D)\cdot P(A|D)=P(A)\cdot P(D|A) \\ P(A|D)=\frac{P(A)\cdot P(D|A)}{P(D)}=\frac{1}{3}\cdot \frac{0,04}{0,02}=\frac{2}{3} \end{gathered}$$

Det er ca. 67% sannsynlig at en defekt nøkkel kommer fra maskin A.

Oppgave 7

a)

$\mathrm{△}PCB$ er likebeint, derfor er $\mathrm{\angle }PCB=v$

$\mathrm{\angle }PCE$ er 90 grader fordi toppunktet ligger på pereferien og den spenner over 180 grader av sirkelsektoren.

$\mathrm{\angle }ABC$ er også 90 grader, derfor må $\mathrm{\angle }ACE=v.$

$\mathrm{\angle }A$ er felles i begge tekantene og $\mathrm{\angle }ACE=\mathrm{\angle }PCB=v$, derfor er trekantene formlike.

b)

$$\begin{gathered} AB=c,EB=a \\ AE=AB-EB=c-a \\ BP=a,AB=c \\ AP=AB+BP=c+a \end{gathered}$$

c)

Forholdet mellom sammsvarende sider i formlike trekanter er likt.

$$\begin{gathered} \frac{AP}{AC}=\frac{AC}{AE} \\ \frac{c+a}{b}=\frac{b}{c-a} \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} \frac{c+a}{b}=\frac{b}{c-a} \\ (c+a)=\frac{b^2}{c-a} \\ (c+a)(c-a)=b^2 \\ {c}^2-ab+ab-a^2=b^2 \\ {a}^2+b^2=c^2 \end{gathered}$$

Oppgave 8

(ii) er grafen til funksjonen. Den har minimumspunkt for x=0 og vender sin hule side opp hele tiden, dvs. ingen vendepunkter.

(i) er grafen til f'(x). Den er null origo når f(x) har et minimum. (iii) er grafen til den dobbeltderiverte.

Oppgave 2

a)

Sirkel $C_1$ Sentrum: $S_1(-5,0)$ , Radius: $r_1=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$

Sirkel $C_2$ $$\begin{gathered} x^2-10x+y^2+5=0 \\ {x}^2-10x+5^2+y^2+5=5^2 \\ (x-5{)}^2+y^2=20 \\ Sentrum:S_2(5,0)Radius:r_2=\sqrt{20}=2\sqrt{5} \end{gathered}$$

b)

Skjæringspunktene er ( 3, 4 ) og ( 3, -4 ).

c)

Dersom ortogonale er skalarproduktet mellom vektorene null.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB}=0 \\ [8,4]\cdot [2,-4]=16+(-16)=0 \end{gathered}$$

Sirklene er ortogonale.

Oppgave 3

a)

Fra ungdomsskolen: $$\begin{gathered} s=vt \\ t=\frac{s}{v} \end{gathered}$$

x er lengden langs veien og 5 er farten langs veien. Tidsforbruk langs vei: $t_v(x)=\frac{x}{5}$ Rotuttrykket i andre ledd er lengden av hypotenusen BH (altså lengden hun beveger seg i terenget), uttrykt ved katetene i den rettvinklede trekanten BCH. 3 er farten i terenget. Derav uttrykket.

b)

Vi ser at hun bruker kortest tid om hun skjærer av vegen etter 3,5 km. Hun bruker da 1,53 timer, eller 1 time 31 minutter og 48 sekunder, for å være nøyaktig.

Oppgave 4

a)

b)

$$\begin{gathered} \overrightarrow{r}(t)=[t^3-3t+3,t-1]-2\le x\le 2 \\ \overrightarrow{v}(t)={\overrightarrow{r}}^{\prime }(t)=[3t^2-3,1] \\ \overrightarrow{a}(t)={\overrightarrow{r}}^{″}(t)=[6t,0] \end{gathered}$$

Når t =1

$$\begin{gathered} Posisjon:\overrightarrow{r}(1)=[1^3-3\cdot 1+3,1-1]=[1,0] \\ Banefart:|\overrightarrow{v}(1)|=[3\cdot 1^2-3,1]=|[0,1]|=1 \\ Akslerasjon:|\overrightarrow{a}(1)|==|[6\cdot 1,0]|=6 \end{gathered}$$

Oppgave 5