1T 2018 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Oppgave 1)

Definisjonen til sinus krever at vi kjenner hypotenusen:

$$\begin{gathered} x^2=36+64 \\ x=\sqrt{100}=10 \end{gathered}$$

$sin(v)=\frac{8}{10}=0,8$

Oppgave 2)

$\frac{4x^2-4}{x^2-2x+1}=\frac{4(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-1)}=\frac{4(x+1)}{x-1}$

Oppgave 4)

$\left[\begin{array}{r}y=-x²+4\\ y=x+2\end{array}\right]$

Løst ved regning:

$$\begin{gathered} -x²+4=x+2 \\ -x²-x+4-2=0 \\ -x²-x+2=0 \end{gathered}$$

Bruker abc-formelen $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$, a=-1, b=-1, c=2.

$x=\frac{-(-1)\pm \sqrt{(-1{)}^2-4\cdot (-1)\cdot 2}}{2\cdot (-1)}$

$x=\frac{1\pm \sqrt{1+8}}{-2}$

$x_1=\frac{1+3}{-2}\vee x_2=\frac{1-3}{-2}$

$x_1=-2\vee x_2=1$

Setter inn x-verdiene i likningen y=x+2.

$$\begin{gathered} y_1=x_1+2=-2+2=0 \\ {y}_2=x_2+2=1+2=3 \end{gathered}$$

Løsning: $x_1=-2\wedge y_1=0\vee x_2=1\wedge y_2=3$

Løst grafisk:

Oppgave 5)

$$\begin{gathered} \sqrt{12}-\sqrt[6]{3^3}-\sqrt[4]{9}= \\ \sqrt{4\cdot 3}-3^{\frac{3}{6}}-9^{\frac{1}{4}}= \\ 2\sqrt{3}-3^{\frac{1}{2}}-(3^2{)}^{\frac{1}{4}}= \\ 2\cdot 3^{\frac{1}{2}}-3^{\frac{1}{2}}-3^{\frac{1}{2}}=0 \end{gathered}$$

Oppgave 6)

$$\begin{gathered} 2^x\cdot 2^{\frac{x}{2}}=\frac{1}{8} \\ {2}^{x+\frac{x}{2}}=2^{-3} \\ {2}^{\frac{3}{2}x}=2^{-3} \\ \frac{3}{2}x=-3 \\ 3x=-6 \\ x=-2 \end{gathered}$$

Oppgave 7)

Det er mange måter å løse dette på.

Vi finner radien til $S_1$: $$\begin{gathered} O_1=2\pi r_1 \\ 5\pi =2\pi r_1 \\ {r}_1=\frac{5\pi }{2\pi } \\ {r}_1=2,5 \end{gathered}$$

Vi vet at $\frac{A_2}{A_1}=4$

Det betyr at: $$\begin{gathered} \frac{A_2}{A_1}=\frac{\pi r_2^2}{\pi r_1^2}=4 \\ \frac{r_2^2}{r_1^2}=2^2 \\ {r}_2^2=2^2\cdot r_1^2 \\ {r}_2=2r_1 \\ {r}_2=5 \end{gathered}$$

Oppgave 8)

a)

$f´(0)=(0-1)(0-1)(0+2)=-1\cdot (-1)\cdot 2=2$

Den momentane vekten i null er to.

b)

Fra punkt a vet vi at stigningstallet er to.

Vi har at y= ax + b, altså y = 2x+b.

Siden man spør om stigningen i origo er b lik null; y =2x

c)

$f´(x)=0\Rightarrow x=-2\vee x=1$

Sjekker så fortegnet til den deriverte på begge sider av punktene:

$$\begin{gathered} f´(-3)=(-4)(-4)(-1)=-16 \\ f´(-1)=(-2)(-2)(1)=4 \end{gathered}$$

(-2, -6) er et bunnpunkt.

Sjekker mulig terassepunkt ved å sjekke en verdi større enn x=1:

$f´(2)=(1)(1)(4)=4$

Den deriverte skifter ikke fortegn (den deriverte for x=0 er positiv, fra opg. a) og vi kan konkludere at $(1,\frac{3}{4})$ er et terassepunkt.

Oppgave 9

a)

Følgende ti kombinasjoner gir nøyaktig én toer:

$U=\{(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)\}$

Totalt er det $6\cdot 6=36$ mulige kombinasjoner for ett terningkast med to terninger.

$P(nøyaktigéntoer)=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$

Sannsynligheten for å få nøyaktig én toer er $\frac{5}{18}$.

b)

Følgende fem kombinasjoner gir summen åtte:

$U=\{(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)\}$

I tre av tilfellene viser ingen av terningene en toer.

$P(ingentoer)=\frac{3}{5}$

Sannsynligheten for at ingen av terningene viser en toer er $\frac{3}{5}$.

Oppgave 10

a)

Den korteste lengden av BC får vi dersom $\mathrm{\angle }B$ er ${90}^{\circ }$. Vi vil da ha en 30-60-90 trekant, hvor den korteste kateten (BC) er halvparten så lang som hypotenusen (AC). Den minste lengden BC kan ha er altså 5 cm.

b)

$$\begin{gathered} \frac{sinB}{AC}=\frac{sinA}{BC} \\ \frac{sinB}{10}=\frac{0,5}{8} \\ sinB=\frac{0,5}{8}\cdot 10 \\ sinB=\frac{5}{8} \end{gathered}$$

c)

Den andre løsningen blir $\mathrm{\angle }B={180}^{\circ }-38,7^{\circ }=141,3^{\circ }$

Skisser av de to mulige trekantene:

Oppgave 11

a)

$\mathrm{\angle }F=\mathrm{\angle }D$

Linje gjennom BC er felles i begge trekantene

$AC\parallel DE\Rightarrow \mathrm{\angle }C=\mathrm{\angle }E$

Trekantene er formlike.

b)

Bruker fomlikheten fra a:

$$\begin{gathered} \frac{8-h}{h}=\frac{x}{x-6} \\ hx=48-8x-6h+hx \\ 6h=-8x+48 \\ h=-\frac{4}{3}x+8 \end{gathered}$$

c)

Lengden av AB er 6. x må ligge i intervallet null til seks.

Areal av rektangel:

$A=g(x)=xh=x(-\frac{4}{3}x+8)=-\frac{4}{3}{x}^2+8x$

d)

Størst mulig areal:

$$\begin{gathered} g´(x)=-\frac{8}{3}x+8 \\ g´(x)=0 \\ -\frac{8}{3}x+8=0 \\ x=3 \end{gathered}$$