S2 2018 vår LØSNING

oppgave som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning laget av mattepratbruker Tommy O.

DEL 1

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=2x^3-4x+1 \\ {f}^{\prime }(x)=6x^2-4 \end{gathered}$$

b)

$g(x)=\frac{x}{e^x}$

$g^{\prime }(x)=\frac{1\cdot e^x-x\cdot e^x}{(e^x{)}^2}=\frac{e^x(1-x)}{(e^x)(e^x)}=\frac{1-x}{e^x}$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=ln(x^2+4x) \\ g(u)=ln(u),u=x^2+4x \\ {h}^{\prime }(x)=g^{\prime }(u)\cdot u^{\prime }(x)=\frac{1}{u}\cdot u^{\prime }=\frac{2x+4}{x^2+4x} \end{gathered}$$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} I5x+y+2z=0 \\ II2x+3y+z=3 \\ III3x+2y-z=-3 \end{gathered}$$

Legger sammen likning II og III.

$$\begin{gathered} 2x+3x+3y+2y+z-z=3-3 \\ 5x+5y=0 \\ x+y=0 \\ x=-y \end{gathered}$$

Setter inn $x=-y$ i likning I.

$$\begin{gathered} 5\cdot (-y)+y+2z=0 \\ -4y+2z=0 \\ 2z=4y \\ z=2y \end{gathered}$$

Setter inn $z=2y$ og $x=-y$ i likning II.

$$\begin{gathered} 2\cdot (-y)+3y+2y=3 \\ 3y=3 \\ y=1 \end{gathered}$$

$x=-y=-1$

$z=2y=2\cdot 1=2$

Løsning: $x=-1,y=1,z=2$

Oppgave 3

a)

$P(x)=x^3-3x^2-13x+15$

$P(1)=1^3-3\cdot 1^2-13\cdot 1+15=1-3-13+15=0$

x=1 er et nullpunkt, så P(x) er delelig med (x-1).

b)

Utfører polynomdivisjon for å faktorisere P(x)

Resten faktoriseres: $x^2-2x-15=(x^2-5x+3x+(-5)\cdot 3)=(x-5)(x+3)$. Bruk andregradsformelen ved behov.

Vi har $P(x)=(x-5)(x-1)(x+3)$. Bruker fortegnsskjema for å løse ulikheten.

$P(x)>0$ når $-3<x<1$ og $x>5$.

Løsningen kan også skrives som $x\in ⟨-3,1⟩$ og $x\in ⟨5,\to ⟩$

Oppgave 4

a)

Differansen, d, mellom to ledd i en aritmetisk rekke er konstant. Finner d:

$$\begin{gathered} a_4=a_1+d+d+d \\ 14=2+3d \\ 3d=12 \\ d=4 \end{gathered}$$

n	1	2	3	4	n
$a_n$	2	6	10	14
Formel	$2+4\cdot 0$	$2+4\cdot 1$	$2+4\cdot 2$	$2+4\cdot 3$	$2+4\cdot (n-1)=4n-2$

$a_n=4n-2$

Oppgave 5

a)

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1{k}^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. I slike tilfeller er $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{a}_i=\frac{a_1}{1-k}$

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å utføre en regresjonsanalyse på punktene i tabellen. Velger polynomfunksjon av 3. grad som modell for kostnadene, h(x). Se skjermbildet under.

Jeg har funnet en modell for kostnaden, $h(x)=0,05x^3-1.97x^2+39,43x+501,02$

Inntekten er 80 kroner per enhet, og kan uttrykkes som $I(x)=80x$.

For å finne en modell for overskuddet, O(x), bruker jeg CAS i Geogebra, og regner ut O(x)=I(x)-h(x). Se skjermbildet under.

Jeg har dermed vist at funksjonen $O(x)=-0,05x^2+2,0x^2+41x-501$ (noe avrundet) er en god modell for det daglig overskuddet til bedriften ved produksjon av x enheter.