R1 2020 vår LØSNING

oppgave

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag til del 1 av Kristian Saug

Løsningsforslag del 2 av Kristian Saug

Løsningsforslag av Svein Arneson

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^6+3x^5+ln(x) \\ {f}^{\prime }(x)=6x^5+15x^4+\frac{1}{x} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=2x^2\cdot e^{2x-1} \\ {g}^{\prime }(x)=4x\cdot e^{2x-1}+2x^2\cdot 2\cdot e^{2x-1}=(1+x)4x\cdot e^{2x-1} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=\frac{4x-1}{x+2} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{4(x+2)-(4x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{9}{(x+2{)}^2} \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} ln(x^2)+ln(x)=12 \\ 2ln(x)+ln(x)=12 \\ 3ln(x)=12 \\ {e}^{ln(x)}=e^4 \\ x=e^4 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} e^{2x}-e^x=6 \\ (e^x{)}^2-e^x-6=0 \\ u=e^x \\ {u}^2-u-6=0 \\ u=3\vee u=-2 \\ {e}^x=3\vee e^x=-2 \\ x=ln(3) \end{gathered}$$

$e^x=-2$ har ingen løsning.

Oppgave 3

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-2$ og $|\overrightarrow{u}|=3$ og $|\overrightarrow{v}|=2$

$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$ og $\overrightarrow{b}=t\cdot \overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v}$

a)

Dersom to vektorer er parallelle:

$$\begin{gathered} k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b} \\ k(2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v})=t\cdot \overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v} \\ 2k\overrightarrow{u}=t\cdot u\wedge 3k\cdot \overrightarrow{v}=5\overrightarrow{v} \\ t=2k\wedge k=\frac{5}{3} \\ t=\frac{10}{3} \end{gathered}$$

b)

Når to vektorer står normalt på hverandre er skalarproduktet null:

Oppgave 4

a)

Dersom polynomet går opp i (x-1) må P(1) være lik null:

$P(1)=6\cdot 1^3-5\cdot 1^2-2\cdot 1+1=6-5-2+1=0$, altså går divisjonen P(x) : (x-1) opp.

d)

$P(x)=(x-1)(2x+1)(3x-1)$ og $F(x)=\frac{P(x)}{x^2-1}=\frac{(x-1)(2x+1)(3x-1)}{(x+1)(x-1)}$

Oppgave 6

a)

AB har lengden 6 og DC har lengden 2x. Høyden er f(x):

$F(x)=\frac{6+2x}{2}\cdot (9-x^2)=-x^3-3x^2+9x+27$

b)

$F^{\prime }(x)=-3x^2-6x+9$

$F^{\prime }(x)=0$ gir x= -3 eller x = 1.

Av uttrykket for den deriverte ser man at den deriverte går fra positv til negativ i nullpunktet x = 1 ( parabelen vender sin hule side ned.)

$F(1)=-1-3+9+27=32$

Oppgave 7

Vinkel D er 65 grader, da er vinkel w = 130 grader. (periferi / sentral vinkel) Av samme grunn er u = 65 grader. I trekanten BCE er vinkelen i E (180-35-65) grader = 80 grader. Det gjør at vinkel v = 100 grader.

Oppgave 2

a)

Begge linjene har stigningstall 5, altså er de parallelle.

Oppgave 3

a)

b)

Vi finner fartsvektorene ved å derivere posisjonsvektorene: