R2 2020 vår LØSNING

oppgaven som pdf

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsning del 1 av Kristian Saug

Løsning del 2 av Kristian Saug

Løsning del 1 og del 2 av Lektor Trandal

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=x\cdot sinx$

$f^{\prime }(x)=sinx+x\cdot cosx$

b)

$g(x)=\frac{cos(x^2)}{x}$

$g^{\prime }(x)=\frac{-2x\cdot sin(x^2)\cdot x-cos(x^2)\cdot 1}{x^2}=\frac{-2x^2\cdot sin(x^2)-cos(x^2)}{x^2}$

Oppgave 2

a)

$\int (x^2+3+e^{2x})dx=\frac{1}{3}{x}^3+3x+\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$

b)

Bruker variabelskifte, der $u=x^2$

$\frac{du}{dx}=2x\Rightarrow dx=\frac{du}{2x}$

$\int 6x\cdot sin(x^2)dx=3\int 2x\cdot sin(u)\frac{du}{2x}=3\int sin(u)du=-3cos(u)+C=-3cos(x^2)+C$

c)

Bruker delvis integrasjon, der $u=lnx\Rightarrow u^{\prime }=\frac{1}{x}$ og $v^{\prime }=x\Rightarrow v=\frac{1}{2}{x}^2$

Finner det ubestemte integralet:

$\int x\cdot lnxdx=\frac{1}{2}{x}^2\cdot lnx-\int \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2}{x}^{2}dx=\frac{1}{2}{x}^2\cdot lnx-\frac{1}{2}\int xdx=\frac{1}{2}{x}^2\cdot lnx-\frac{1}{4}{x}^2+C$

Finner det bestemte integralet:

$$\begin{gathered} {\int }_1^{e}x\cdot lnxdx=[\frac{1}{2}{x}^2\cdot lnx-\frac{1}{4}{x}^2{]}_1^e=(\frac{1}{2}{e}^2\cdot lne-\frac{1}{4}{e}^2)-(\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot ln1-\frac{1}{4}\cdot 1^2) \\ =(\frac{2}{4}{e}^2\cdot 1-\frac{1}{4}{e}^2)-(\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{4})=\frac{1}{4}{e}^2+\frac{1}{4} \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

Finner $a_5$:

$$\begin{gathered} S_5=\frac{a_1+a_5}{2}\cdot 5 \\ 55=\frac{3+a_5}{2}\cdot 5 \\ {a}_5=\frac{55}{5}\cdot 2-3 \\ {a}_5=19 \end{gathered}$$

Finner differensen:

$$\begin{gathered} d=\frac{a_5-a_1}{5-1} \\ d=\frac{19-3}{4} \\ d=4 \end{gathered}$$

Finner $a_{10}$:

$$\begin{gathered} a_{10}=a_1+(10-1)\cdot d \\ {a}_{10}=3+9\cdot 4 \\ {a}_{10}=39 \end{gathered}$$

Finner summen av de 10 første leddene:

$$\begin{gathered} S_{10}=\frac{a_1+a_{1}0}{2}\cdot 10 \\ {S}_{10}=\frac{3+39}{2}\cdot 10 \\ {S}_{10}=210 \end{gathered}$$

b)

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1{k}^{n-1}$ sier vi at den konvergerer.

I slike tilfeller er $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{a_1}{1-k}$

I rekken $7+\frac{7}{2}+\frac{7}{4}+...$ er $a_n=7\cdot {\frac{1}{2}}^{n-1}$

Vi har $k=\frac{1}{2}$ og rekken konvergerer derfor.

Bestemmer summen av rekken:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\frac{7}{1-\frac{1}{2}}=\frac{7}{\frac{1}{2}}=14$

Oppgave 4

$f(x)=2sin(\pi x+\pi )-1,x\in ⟨-1,3⟩$

a)

$f^{\prime }(x)=2\pi cos(\pi x+\pi ),x\in ⟨-1,3⟩$

Setter $f^{\prime }(x)=0$

$$\begin{gathered} 2\pi cos(\pi x+\pi )=0 \\ cos(u)=0\Rightarrow u=\frac{\pi }{2}+k\pi \\ \pi x+\pi =\frac{\pi }{2}\vee \pi x+\pi =\frac{3\pi }{2}\vee \pi x+\pi =\frac{5\pi }{2}\vee \pi x+\pi =\frac{7\pi }{2} \\ x=-\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{2}\vee x=\frac{3}{2}\vee x=\frac{5}{2} \end{gathered}$$

Finner y-koordinatene til ekstremalpunktene (vet at en sinusfunksjon kun har topp- og bunnpunkter, og ingen terrassepunkter):

$f(-\frac{1}{2})=2sin(-\frac{\pi }{2}+\pi )-1=2sin(\frac{\pi }{2})-1=2\cdot 1-1=1$

$f(\frac{1}{2})=2sin(\frac{\pi }{2}+\pi )-1=2sin(\frac{3\pi }{2})-1=2\cdot (-1)-1=-3$

$f(\frac{3}{2})=2sin(\frac{3\pi }{2}+\pi )-1=2sin(\frac{5\pi }{2})-1=2\cdot 1-1=1$

$f(\frac{5}{2})=2sin(\frac{5\pi }{2}+\pi )-1=2sin(\frac{7\pi }{2})-1=2\cdot (-1)-1=-3$

Toppunkter: $(-\frac{1}{2},1)$ og $(\frac{3}{2},1)$

Bunnpunkter: $(\frac{1}{2},-3)$ og $(\frac{5}{2},-3)$

b)

Skjæring med y-aksen:

$f(0)=2sin(\pi \cdot 0+\pi )-1=2sin(\pi )-1=0-1=-1$

Grafen til $f$ skjærer y-aksen i punktet $(0,-1)$. Vi kan også se dette av funksjonsuttrykket.

Skjæring med x-aksen; setter $f(x)=0$

$$\begin{gathered} 2sin(\pi x+\pi )-1=0 \\ sin(\pi x+\pi )=\frac{1}{2} \\ sin(u)=\frac{1}{2}\Rightarrow u=\frac{\pi }{6}+k\cdot 2\pi \vee u=\frac{5\pi }{6}+k\cdot 2\pi \\ \pi x+\pi =\frac{\pi }{6}\vee \pi x+\pi =\frac{5\pi }{6}\vee \pi x+\pi =\frac{13\pi }{6}\vee \pi x+\pi =\frac{17\pi }{6} \\ x=-\frac{5}{6}\vee x=-\frac{1}{6}\vee x=\frac{7}{6}\vee x=\frac{11}{6} \end{gathered}$$

Grafen til $f$ skjærer x-aksen i punktene $(-\frac{5}{6},0),(-\frac{1}{6},0),(\frac{7}{6},0),(\frac{11}{6},0)$.

c)

Bruk ekstremalpunktene og nullpunktene, samt skjæring med y-aksen, til å lage en skisse for hånd.