S1 2024 Høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

DEL EN

Oppgave 1

$f(x)=\frac{e^{2x}}{x}$

Deriverer f: $f^{\prime }(x)=\frac{(e^{2x}{)}^{\prime }\cdot x+x^{\prime }\cdot e^{2x}}{x^2}=\frac{2x{e}^{2x}+e^{2x}}{x^2}=\frac{e^{2x}(2x+1)}{x^2}$

Oppgave 2

Programmet leter etter toppunktet til funksjonen $O(x)=-0,1x^2+2000x-50000$.

Programmet løper gjennom en while løkke og sjekker funksjonsverdien O(x+1) i forhold til O(x). Så lenge O(x+1)> O(x) fortsetter løkken. Når det ikke lenger er tilfellet, skriver det ut x- verdien.

Vi deriver O og setter uttrykket lik null.

$-0,2x+2000=0$

$x=\frac{-2000}{-0,2}=10000$

Programmet skriver ut 10000, som er x verdien som gir størst funksjonsverdi.

Oppgave 3

${100}^x-3\cdot {10}^x=4$

$({10}^2{)}^x-3\cdot {10}^x-4=0$

$({10}^x{)}^2-3\cdot {10}^x-4=0$

${10}^x=\frac{3\pm \sqrt{9+16}}{2}$

${10}^x=\frac{3\pm 5}{2}$

Vi er bare interessert i den positive verdien fordi vi ikke kan opphøye 10 i noe som gir en negativ verdi.

${10}^x=4$

$x=lg(4)$

Oppgave 4

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2+x-12}{2x^2-18}$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}-\frac{12}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{18}{x^2}}$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1+\frac{1}{x}-\frac{12}{x^2}}{2-\frac{18}{x^2}}=\frac{1}{2}$$

Oppgave 5

a)

To kuler med samme farge:

P(to i samme farge) = P(to røde) + P(to blå) + P( to gule)

$\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}+\frac{3}{9}\cdot \frac{2}{8}+\frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}=\frac{12+6+2}{72}=\frac{5}{18}$

b)

Nøyaktig en gul

$P(engul)=P(gul)\cdot P(annenfarge)+P(annenfarge)\cdot P(gul)$

$P(engul)=\frac{2}{9}\cdot \frac{7}{8}+\frac{7}{9}\cdot \frac{2}{8}=\frac{28}{72}=\frac{7}{18}$

Oppgave 6

Både g og f tilfredsstiller kravet om gjennomsnittlig vekstfart i intervallet [0,4]. g har derivert lik 0,5 for alle x, så det er kun f som tilfredsstiller kravene.

DEL TO

Oppgave 1

a)

Forskjellige antrekk (multiplikasjonsprinsippet):

FA = $10\cdot 20\cdot 15\cdot 15\cdot 5=225000$

Oppgave 2

a)

Gjennomsnittlig vekstfart: $\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(4)-f(1)}{4-1}=\frac{18-3}{3}=5$

Påstanden er riktig.

b)

Begge går mot samme grenseverdi når x går mot pluss eller minus uendelig. Påstanden er feil.

c)

Dersom to like grunntall skal være like når de er opphøyet i en eller annen eksponent, må også eksponentene være like. Påstanden er riktig.

Oppgave 3

Logaritmen til basisen for logaritmen er 1. Derfor er basis her 5.

Oppgave 6

a)

Den deriverte av I når x er 15 gir oss inntektsendringen ved salg av enhet 15. Man øker inntekten med 235 000 kroner ved salg av motor nr. 15.

b)

Overskuddet er størst når det selges 180 enheter.