Lineær algebra

Lineær algebra er et område av matematikken som kommer dels fra vektorregningen og dels fra ligningssystemer.

Store ligningssystemer med mange ukjente er blitt mer og mer vanlig fordi vår teknologiske hverdag krever det og fordi vi nå har muligheten til å løse systemene i løpet av kort tid ved hjelp av en datamaskin.

Man må normalt ha like mange ligninger som ukjente.

---

Lineær Algebra

Lineær algebra er en gren av matematikken som omhandler vektorer, matriser og lineære transformasjoner. Dette fagfeltet er fundamentalt i mange vitenskaper, inkludert fysikk, datafag og ingeniørfag.

Vektorer

En vektor er en størrelse som har både retning og størrelse. For eksempel kan vi representere en vektor i det tredimensjonale rommet slik:

$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}2\\ 3\\ 5\end{array}\right]$

Vi kan legge sammen to vektorer ved å addere deres respektive komponenter:

$\mathbf{a}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}4\\ 5\\ 6\end{array}\right]$

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}1+4\\ 2+5\\ 3+6\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 7\\ 9\end{array}\right]$

Matriser

En matrise er et rektangulært oppsett av tall, for eksempel:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

Multiplikasjon av en matrise med en skalar gjøres ved å multiplisere hver komponent:

$3A=\left[\begin{array}{cc}3& 6\\ 9& 12\end{array}\right]$

Multiplikasjon av to matriser utføres ved å ta skalarproduktet av radene i den første matrisen med kolonnene i den andre matrisen:

$B=\left[\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$

$AB=\left[\begin{array}{cc}(1\cdot 2+2\cdot 1)& (1\cdot 0+2\cdot 3)\\ (3\cdot 2+4\cdot 1)& (3\cdot 0+4\cdot 3)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}4& 6\\ 10& 12\end{array}\right]$

Lineære Ligningssystemer

Et system av lineære ligninger kan skrives som en matrise:

$\{\begin{array}{l}x+2y=5\\ 3x+4y=6\end{array}$

Dette kan skrives på matriseform som:

$\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5\\ 6\end{array}\right]$

Løsningen kan finnes ved å bruke Gauss-eliminasjon eller invers matrise-metoden.

Determinanter

Determinanten til en $2\times 2$ matrise er gitt ved:

$det(A)=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$

For eksempel, for matrisen

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

blir determinanten:

$det(A)=(1\cdot 4-2\cdot 3)=-2$

Determinanter

Determinanten til en $2\times 2$ matrise er gitt ved:

$det(A)=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc$

For eksempel, for matrisen

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]$

blir determinanten:

$det(A)=(1\cdot 4-2\cdot 3)=-2$

• • Bruksområder for Determinanter:**

1. **Løse lineære ligningssystemer**: Determinanter brukes til å avgjøre om et system har en entydig løsning. Hvis determinanten til koeffisientmatrisen er null, er systemet enten inkonsistent eller har uendelig mange løsninger. 2. **Finne inversen av en matrise**: En matrise er inverterbar hvis og bare hvis dens determinant er ulik null. 3. **Geometrisk tolkning**: Determinanten av en $2\times 2$ eller $3\times 3$ matrise kan tolkes som arealet eller volumet av en parallellogram eller parallellpiped dannet av vektorene i matrisen. 4. **Transformasjoner og endringer i volum**: I datagrafikk og fysikk brukes determinanter til å forstå hvordan transformasjoner påvirker geometriske objekter.

• • Konkret eksempel:**

Anta at vi har en transformasjonsmatrise som skalerer områder i planet:

$T=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 2& 4\end{array}\right]$

Da er determinanten:

$det(T)=(3\cdot 4-1\cdot 2)=10$

Dette betyr at en figur i planet som transformeres av $T$ vil få sitt areal skalert med en faktor på 10.

• • Hvorfor er dette viktig?**

- **I fysikk**: Determinanter brukes for å beregne volumendringer under deformasjoner i elastisitetsteori. - **I maskinlæring**: Determinanter brukes til å vurdere om en matrise har en unik løsning i systemer av ligninger, noe som er viktig for å trene modeller. - **I datagrafikk**: Determinanter brukes til å forstå hvordan en transformasjon påvirker bildet eller modellen.

Egenverdier og Egenvektorer

Egenverdier for en matrise $A$ finnes ved å løse ligningen:

$det(A-\lambda I)=0$

For matrisen

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right]$

får vi karakteristisk ligning:

$\left|\begin{array}{cc}2-\lambda & 1\\ 1& 2-\lambda \end{array}\right|=(2-\lambda )(2-\lambda )-1\cdot 1={\lambda }^2-4\lambda +3=0$

Løser vi for $\lambda$, får vi egenverdiene ${\lambda }_1=3$ og ${\lambda }_2=1$.

Egenvektorer finnes ved å løse $(A-\lambda I)\mathbf{v}=0$ for hver egenverdi.

Konklusjon

Lineær algebra er et kraftig verktøy som brukes i mange fagfelt. Vektorer, matriser og lineære ligninger er fundamentale konsepter som gir grunnlaget for mer avansert matematikk og anvendelser.