R2 2012 vår LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

1)

$f (x) = 3 s i n (2 x) u = 2 x, u^{'} = 2 f^{'} (x) = 2 \cdot 3 c o s (2 x) f^{'} (x) = 6 c o s (2 x)$

2)

$g (x) = x^{2} s i n x u = x^{2}, v = s i n x g^{'} (x) = 2 x s i n x + x^{2} c o s x = x (2 s i n x + x c o s x)$

3)

$k (x) = 5 c o s (\frac{π}{12} x - 2) + 7 k^{'} (x) = - \frac{5 π}{12} s i n (\frac{π}{13} x - 2)$

b)

$\int x e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x = \frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x} + C = \frac{1}{4} e^{2 x} (2 x - 1) + C$

c)

$\int_{3}^{7} \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x \frac{2 x}{x^{2} + 4} = \frac{A}{x - 2} + \frac{B}{x - 2} 2 x = A (x + 2) + B (x - 2) x = 2 \Rightarrow A = 1 x = - 2 \Rightarrow B = 1 \int_{3}^{7} \frac{2 x}{x^{2} - 4} d x = \int_{3}^{7} \frac{1}{x - 2} d x + \int_{3}^{7} \frac{1}{x + 2} d x = [l n | x - 2 |]_{3}^{7} + [l n | x + 2 |]_{3}^{7} = l n 5 - l n 1 + l n 9 - l n 5 = l n 3^{2} = 2 l n 3$

d)

$y^{'} - 2 y = 3 y^{'} \cdot e^{- 2 x} - 2 y e^{- 2 x} = 3 e^{- 2 x} (y e^{- 2 x})^{'} = 3 e^{- 2 x} y e^{- 2 x} = - \frac{3}{2} e^{- 2 x} + C y = - \frac{3}{2} + C e^{2 x} y (o) = 8 \Rightarrow 8 = - \frac{3}{2} + C \Rightarrow C = \frac{19}{2} y = - \frac{3}{2} + \frac{19}{2} e^{2 x}$

e)

$1 + e^{- x} + e^{- 2 x} + . . . . x > 0$

1)

$k = \frac{e^{- x}}{1} = \frac{e^{- 2 x}}{e^{- x}} = e^{- x}$

$- 1 < e^{- x} < 1$

Dvs: rekken konvergerer.

2)

$S = \frac{a_{1}}{1 - k} = \frac{1}{1 - e^{- x}} = \frac{e^{x}}{e^{x} - 1}$

Oppgave 2

a)

b)

c)

Oppgave 3

$f (x) = x \cdot e^{x}$

a)

b)

c)

$f^{(n)} (x) = (x + n) e^{x} n = 1 : f^{'} (x) = e^{x} + x e^{x} = (1 + x) e^{x}$

Formelen stemmer for n = 1.

Setter n = k og undersøker om formelen stemmer for k + 1:

$f^{(k + 1)} = ((x + k) e^{x})^{'} = (x + k)^{'} e^{x} + (x + k) (e^{x})^{'} = (x + k + 1) e^{x}$

Man slutter av dette at formelen gjelder for alle naturlige tall.

DEL TO

Oppgave 4

a)

$f (t) = 19 - 4 c o s (\frac{π \cdot t}{180}) f (85) = 19 - 4 c o s (\frac{π \cdot 85}{180}) = 18, 65$

Det begynner å mørkne kl. 18:39 på kvelden den 25. mars, i følge modellen.

Definerer 1. januar som dag 1. (kan også definere den som dag 0)

b)

Likevektslinjen er 19.

Amplitude: Den største verdi f kan ha er 23, da er amplituden 4. Det kan leses fra funksjonsuttrykket, absoluttverdien av faktoren i "cosinus" leddet.

Perioden er 360.

Det gjennomsnittlige tidspunkt når lyset slåes på, gjennom hele året, er kl. 19:00.

c)

Dette kan leses direkte fra grafen. Man observerer at det er to løsninger. Man kan også regne det ut:

$f (t) = 18 19 - 4 c o s (\frac{π \cdot t}{180}) = 18 t = 76 \lor t = 256$

Lyset slåes på kl. 18:00 16 mars og 16 september.

d)

Oppgave 5

a)

$t a n (u - v) = \frac{s i n (u - v)}{c o s (u - v)} = \frac{s i n u \cdot c o s v - c o s u \cdot s i n v}{c o s u \cdot c o s v + s i n u \cdot s i n v} = \frac{\frac{s i n u \cdot c o s v}{c o s u \cdot c o s v} - \frac{c o s u \cdot s i n v}{c o s u \cdot c o s v}}{\frac{c o s u \cdot c o s v}{c o s u \cdot c o s v} + \frac{s i n u \cdot s i n v}{c o s u \cdot c o s v}} = \frac{t a n u - t a n v}{1 - t a n u \cdot t a n v}$

b)

$f (x) = t a n (α) = t a n (u - v) = \frac{t a n u - t a n v}{1 - t a n u \cdot t a n v} = \frac{\frac{4}{x} - \frac{1}{x}}{1 + \frac{4}{x} \cdot \frac{1}{x}} = \frac{4 x - x}{x^{2} + 4} = \frac{3 x}{x^{2} + 4}$

c)

$f^{'} (x) = \frac{3 (x^{2} + 4) - 3 x \cdot 2 x}{(x^{2} + 4)^{2}} = \frac{12 - 3 x^{2}}{(x^{2} + 4)^{2}} f^{'} (x) = 0 \Rightarrow 12 - 3 x^{2} = 0 x = 2 f (2) = \frac{3}{4}$

d)

største synsvinkel:

$\frac{3}{4} = t a n (α) α = 36, 9^{\circ}$

Oppgave 6

a)

$v_{0} = 25 m / s y - f a r t y^{'} - a k s l e r a s j o n y^{'} = k y^{2} B e s t e m m e r k : - 12 = k \cdot 25^{2} k = 0, 02 \frac{d y}{d x} = - 0, 02 y^{2} \int y^{- 2} d y = \int - 0, 02 d x - y^{- 1} = - 0, 02 x + c y = \frac{1}{0, 02 x + c}$

b)

Ved tiden x = 0:

$y = \frac{1}{C} 25 = \frac{1}{C} c = 0, 04$

Farten til båten ved x = 3:

$y (3) = \frac{1}{0, 06 + 0, 04} = 10 m / s$

c)

Båten har forflyttet seg ca. 46 meter på 3 sekunder.