R2 2013 vår LØSNING

Oppgaven som pdf

Oppgave 1.

a) $f^{\prime }(x)=-3\cos x$

b) $g^{\prime }(x)=6\pi \cos (\pi x)$

c) $h^{\prime }(x)=[2\sin (3x)+3]\cos (3x)e^{2x}$

Oppgave 2.

a) La $u=2x$ da er $\mathrm{d}u=2x\mathrm{d}x$ slik at

$\int \frac{2x}{x^2-4}\mathrm{d}x=\int \frac{\mathrm{d}u}{u}=\ln |u|+\mathcal{C}=\ln |x^2-4|+\mathcal{C}$

b) Legg merke til at

$\frac{2x}{x^2-4}=\frac{x+x}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x-2)+(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)}+\frac{(x+2)}{(x-2)(x+2)}=\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}$

slik at vi kan skrive integralet som

$\int \frac{2x}{x^2-4}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}\mathrm{d}x=\ln |x+2|+\ln |x-2|+\mathcal{C}=\ln |x^2-4|+\mathcal{C}$

som ønsket.

Oppgave 3.

a)

$\overrightarrow{AB}=(2,2,0)$ og $\overrightarrow{AC}=(-1,1,0)$ slik at $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(-1,-1,4)$.

Arealet blir da følgelig

$A=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|=\frac{1}{2}\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2+4^2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$

a)

$AB\cdot AC=2\cdot (-1)+2\cdot 1+0=0$

Arealet blir da følgelig

$\text{displaytyle}A=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\right|\times \left|\overrightarrow{AC}\right|=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot \sqrt{2}=\frac{3}{2}\sqrt{2}$

som før.