S2 2015 vår LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven

Oppgave 1

a)

$f^{\prime }(x)=e^{-2x}\cdot (-2)=-2e^{-2x}$

b)

Brukar brøkregelen med $u=x^2-1$ og $v=x$:

$$g^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }\cdot v-u\cdot v^{\prime }}{v^2}=\frac{2x\cdot x-(x^2-1)\cdot 1}{x^2}=\frac{2x^2-x^2+1}{x^2}=\frac{x^2+1}{x^2}$$

c)

Brukar produktregelen til å derivere $(3x+1)\cdot e^x$:

$h^{\prime }(x)=3\cdot e^x+(3x+1)\cdot e^x=(3x+4)e^x$

Oppgave 2

a)

Jeg leser av nullpunktene på grafen:

$x=-3$, $x=-1$ og $x=3$.

Da vet vi at $(x+3)$, $(x+1)$ og $(x-3)$ er faktorer i polynomet $f(x)$.

$f(x)=(x+3)(x+1)(x-3)$

b)

Jeg bruker ett av nullpunktene, f.eks. $x=3$.

Vi vet at $f(x)=0$ for $x=3$:

$$\begin{gathered} f(3)=0 \\ {3}^3+3^2+k\cdot 3+k=0 \\ 27+9+3k+k=0 \\ 4k=-36 \\ k=-9 \end{gathered}$$