Kvotient regel derivasjon-bevis

Vi har:

$f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},f´(x)=\frac{u´(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v´(x)}{(v(x){)}^2},f´(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x+\mathrm{\Delta }x)-f(x)}{\mathrm{\Delta }x}$

Bevis:

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)}{v(x+\mathrm{\Delta }x)}-\frac{u(x)}{v(x)}}{\mathrm{\Delta }x} \\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)}{\mathrm{\Delta }x\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x)} \\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)+u(x)\cdot v(x)}{\mathrm{\Delta }x\cdot v(x+\mathrm{\Delta }x)\cdot v(x)} \\ =\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(\frac{u(x+\mathrm{\Delta }x)-u(x)}{\mathrm{\Delta }x} \end{gathered}$$