1T 2016 høst LØSNING

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Oppgave 1

Tar utgangspunkt i likning #2 og lager først et uttrykk for y

$$-y=-2x-9\iff y=2x+9$$

Setter det inn i likning #1

$$5x=-2(2x+9)\iff 5x=-4x-18\iff 9x=-18\iff x=(-2)$$

Setter så inn verdien for x inn i hvilken som helst vilkårlig likning, i dette tilfellet tar vi for oss likning 1 fordi den er enklest.

$$5(-2)=-2y\iff -10=-2y\iff y=5$$

Derfor, $$x=-2\wedge y=5$$

Oppgave 2

Først omskriver vi det litt med hensyn til faktorisering.

$$\frac{2x^2-2}{x^2-2x+1}=\frac{2(x^2-1)}{x^2-2x+1}\iff \frac{2(x-1)(x+1)}{x^2-2x+1}$$

Ser vi i nevneren vil vi se at vi har et andregradsuttrykk. Dette kan du faktorisere ved hjelp av abc-formelen.

Du finner fort ut at likninga kun har ett nullpunkt for $$x=1$$ Da kan du skrive nevneren som $$(x-1{)}^2$$

videre får du

$$\frac{2(x-1)(x+1)}{(x-1{)}^2}=\frac{2(x+1)}{x-1}$$

Oppgave 3

$$\begin{gathered} -x^2+3x>-10 \\ -x^2+3x+10>0 \end{gathered}$$

Faltoriserer uttrykket:

$$\begin{gathered} x=\frac{-3\pm \sqrt{9+40}}{-2} \\ x=-2\vee x=5 \end{gathered}$$

Gir oss uttrykket på faktorisert form:

$-1(x-5)(x+2)>0$

Tegner så fortegnsskjema.

Oppgave 4

$$lg(2x+\frac{3}{5})=-1$$

Ved hjelp av logaritmereglene vet vi at $$-1=lg({10}^{-1})$$

Derfor kan vi si at

$$lg(2x+\frac{3}{5})=lg({10}^{-1})$$

Ved hjelp av denne logaritmeregelen $$lg(a)=lg(b)\iff a=b$$

Kan vi si at

$$2x+\frac{3}{5}={10}^{-1}\iff 2x+\frac{3}{5}=\frac{1}{10}\iff 2x=-\frac{5}{10}\iff 2x=-\frac{1}{2}\iff x=-\frac{1}{4}$$

Oppgave 5

$$2^3\cdot 2^x=2^{2x}$$

Vi kjenner til regelen $$a^n\cdot a^m=a^{n+m}$$ og sier at $$2^3\cdot 2^x=2^{x+3}$$

Derfor får vi at

$$2^{x+3}=2^{2x}$$

Vi kjenner regelen $$a^n=a^m\iff n=m$$

Derfor kan vi si at $$x+3=2x\iff x=3$$

Oppgave 6

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{48}}{\sqrt{54}}+2^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{-1}= \\ \frac{\sqrt{3\cdot 16}}{\sqrt{6\cdot 9}}+\sqrt{2}\cdot \frac{1}{3}= \\ \frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{2}}{3}= \\ \frac{4\sqrt{3}}{3\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}}+\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{3\sqrt{2}}= \\ \frac{4+2}{3\sqrt{2}}= \\ \frac{2}{\sqrt{2}}= \\ \sqrt{2} \end{gathered}$$

Oppgave 7

$$\begin{gathered} \frac{x+2}{x-3}-\frac{7x+14}{x^2-x-6}= \\ \frac{x+2}{x-3}-\frac{7(x+2)}{(x-3)(x+2)}= \\ \frac{(x+2)(x+2)-7(x+2)}{(x+2)(x-3)}= \\ \frac{x-5}{x-3} \end{gathered}$$

Oppgave 8

Parabler er på formen $f(x)=a{x}^2+bx+c$

Vi ser at f(0)= - 4, dvs c= -4

Vi har nullpunktene:

a(x - 4)(x + 2) og velger et punkt på grafen (0, -4):

$$\begin{gathered} a2(-4)=8 \\ a=\frac{1}{2} \end{gathered}$$

Vi mangler nå b og velger feks punktet (4,0):

$$\begin{gathered} f(4)=0 \\ \frac{1}{2}\cdot 16+4b-4=0 \\ 4b=-4 \\ b=-1 \end{gathered}$$

Funksjonen er gitt ved uttrykket

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^2-x-4$

a

Alle tre faktorene vil bli lik null som gir

$$f(x)=(x-1)(x-1)(x+2)\iff x-1=0,x+2=0\iff x=1\wedge x=-2$$

b

$$(x-1)(x-1)(x+2)=(x+2)(x-1{)}^2=(x+2)(x^2-2x+1)=x^3-3x+2$$

c

Vi finner topp og bunnpunkter når den deriverte = 0, dvs. ved 0 vekst.

$$(x^3-3x+2{)}^{\prime }=3x^2-3x$$

$$3x^2-3=0\iff 3x^2=3\iff x^2=1\iff x=\pm 1$$

Vi vet derfor at funksjonen har et ekstremalpunkt i $$(1,f(1))=(1,0)$$ og $$(-1,f(-1))=(-1,4)$$

d

Først finner vi stigningstallet

$$f^{\prime }(0)=a\iff 3\cdot 0^2-3=a\iff a=-3$$

Så finner vi likningen

$$(y-y_1)=a(x-x_1)\iff (y-2)=-3(x-0)\iff y=-3x+2$$

e)

Dersom vi skal ha flere tangenter parallell med den i i d), må likningen $3x^2-3=-3$ ha flere løsninger. Vi får:

$$\begin{gathered} 3x^2-3+3=0 \\ 3x^2=0 \\ x=0 \end{gathered}$$

Det finnes ingen andre tangenter parallell med den i d).

Oppgave 10

Hver av sidene har lengde 8.

Høyden i trekanten blir et katet i en trekant der det andre katetet er 4 og hypotenus 8. Lengden blir da $\sqrt{8^2-4^2}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$

Arealet av trekanten blir $A=\frac{g\cdot h}{2}=\frac{8\cdot 4\sqrt{3}}{2}=16\sqrt{3}$

Oppgave 11

$$\frac{sin(u)}{cos(u)}=tan(u)\iff \frac{\frac{8}{17}}{\frac{15}{17}}=\frac{8}{15}$$

Oppgave 12

a)

$$\begin{gathered} (sinu{)}^2+(cosu{)}^2= \\ (\frac{4}{5}{)}^2+(\frac{3}{5}{)}^2= \\ \frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1 \end{gathered}$$

Hvilket skulle vises.

b)

$$\begin{gathered} a^2+b^2=c^2 \\ \frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2} \\ (\frac{a}{c}{)}^2+(\frac{b}{c}{)}^2=1 \\ si{n}^{2}x+co{s}^{2}x=1 \end{gathered}$$

Oppgave 13

a)

P( BRR) = $P(B)\cdot P(R)\cdot P(R)=\frac{4}{8}\cdot \frac{4}{7}\cdot \frac{3}{6}=\frac{1}{7}$

Oppgave 14

a)

Omkretsen av det blå området er lik summen av pereferien av de tre halvsirklene.

$O_{blå}=2,5a\pi +0,5a\pi +2a\pi =5a\pi$

Omkretsen er fem ganger a ganger pi.

b)

Arealet av det blå området er arealet av den store halvsirkelen, minus arealene av de to små halvsirklene.

$$\begin{gathered} A=(\frac{\pi (\frac{5}{2}a{)}^2}{2})-(\frac{\pi (\frac{1}{2}{)}^2}{2})-(\frac{\pi (2a{)}^2}{2}) \\ A=(\frac{\pi a^2}{2})((\frac{5}{2}{)}^2-(\frac{1}{2}{)}^2-2^2) \\ A=4\pi a^2 \end{gathered}$$