2PY 2018 vår LØSNING

• Løsningsforslag (pdf) fra joes. Send gjerne en melding hvis du oppdager feil i akkurat dette løsningsforslaget. På forhånd, takk.

• Løsningsforslag eksamen 2PY V18 (pdf) laget av Jon Bjarne Bø.

Oppgave 1

Variasjonsbredde: $30-(-24)=30+24=54$ poeng

Gjennomsnitt: $\frac{20-15+5+15-8-3-24+30}{8}=\frac{20}{8}=\frac{5}{2}=2,5$ poeng

Oppgave 2

$\frac{20}{100}\cdot 25=\frac{500}{100}=5$

5 elever i klassen til Mats har bodd i Norge i mindre enn fire år.

Oppgave 3

$\frac{5\cdot {10}^6}{2\cdot {10}^{-8}}=\frac{5}{2}\cdot {10}^{6-(-8)}=2,5\cdot {10}^{14}$

a)

b)

80 personer har fedme.

520 personer er undervektige eller normalvektige.

40% av personene er overvektige.

92% av personene er undervektige, normalvektige eller overvektige.

c)

Medianen er vekten til personen mellom nr. 500 og 501 (siden det er 1000 personer med i undersøkelsen), og vi ser i den kumulative frekvensen at denne personen befinner seg i klassen for normalvektige.

a)

b)

Antall sirkler i ytterste sekskant er 246. Vi bruker formelen for antall sirkler i ytterste sekstant, og setter den lik 246:

$$\begin{gathered} 6\cdot (n-1)=246 \\ n-1=\frac{246}{6} \\ n-1=41 \end{gathered}$$

Formel for antall sekskanter i en figur er $n-1$

Dermed vet vi at det er 41 sekskanter i figuren.

c)

d)

Bruker formelen for antall sirkler i figuren og setter i n=100.

$$\begin{gathered} 2\cdot n^2-n \\ =2\cdot {100}^2-100 \\ =2\cdot 10000-100 \\ =20000-100 \\ =19900 \end{gathered}$$

Det vil være 19 900 sirkler i figur nr. 100.

a)

En lineær modell skrives $y=a\cdot x+b$

Vi vet at konstantleddet b = 12 000 fordi dyrebestanden i dag er 12 000 dyr.

Vi finner stigningstallet $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{6000-12000}{10-0}=\frac{-6000}{10}=-600$

Modellen som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år er $y=-600x+12000$

b)

$\frac{11400}{12000}=0,95$

11 400 dyr tilsvarer 95% av 12 000 dyr. Det betyr at vekstfaktoren for ett år er 0,95.

Den eksponentielle modellen som viser hvor mange dyr det vil være i bestanden om x år er $f(x)=12000\cdot 0,{95}^x$

c)

I den lineære modellen avtar bestanden med 600 dyr hvert år. Det første året tilsvarer det 5% av startverdien på 12 000 dyr. Bestanden vil fortsette å avta med 600 dyr hvert år, og det vil tilsvare en større og større prosentandel av dyrene som er igjen hvert år.

I den eksponentielle modellen avtar bestanden med 5% av antall dyr som er igjen hvert år. Det første året tilsvarer det 600 dyr, men de neste årene vil bestanden minke med færre og færre dyr, fordi 5% av en stadig minkende bestand, tilsvarer et mindre og mindre antall dyr.

Det vil si at det vil være færrest dyr igjen om 10 år ifølge den lineære modellen.

a)

b)

Tegner linja y=10 og bruker Skjæring mellom to objekt for å finne punkt B=(5,35, 10) og C=(11,55, 10), se figur.

5,35 måneder etter 1. januar tilsvarer litt ut i juni måned. 11,55 måneder etter 1. januar tilsvarer midten av desember (husk at x=0 den 1.januar, x=1 den 1. februar osv.). Det vil si at det varte i $11,55-5,35=6,2$ måneder.

Det var mer enn 10 millioner kvadratkilometer dekket av havis fra litt ut i juni til midten av desember, i 6,2 måneder.

c)

1. mars tilsvarer x=2 (2 måneder etter 1. januar). 1. september tilsvarer x= 8 (8 måneder etter 1. januar).

Tegnet punktene $D=(2,A(2))$ og $E=(8,A(8))$. Brukte knappen "linje" til å tegne en linje i som går gjennom punkt D og E. Brukte knappen "Stigning" til å finne stigningen til linjen i. Stigningen a=2,28.

Det betyr at den gjennomsnittlige økningen i antall kvadratkilometer dekket av havvis fra 1. mars til 1. september var 2,28 millioner kvadratkilometer per måned.

d)

Lagde punktet $F=(5,A(5))$. Brukte knappen "Tangent" til å lage en tangent til funksjonen A(x) i punktet F. Brukte knappen "Stigning" til å finne stigningen til tangenten. Stigningen a=3.

Den momentane vekstfarten når x=5 var 3 millioner kvadratkilometer per måned. Det vil si at havisen vokste med en fart på 3 millioner kvadratkilometer per måned den 1. juni.

a)

Setter om et funksjonsuttrykk f(x) for verdien av bilen om x år. En årlig nedgang i verdien på 12% tilsvarer en årlig vekstfaktor på 0,88.

$f(x)=300000\cdot 0,{88}^x$

Om 5 år er bilen verdt:

$f(5)=300000\cdot 0,{88}^5\approx 158320kr$

b)

For 5 år siden var bilen verdt:

$f(-5)=300000\cdot 0,{88}^{-5}\approx 568470kr$

a)

For å finne antall personer i boligområdet finner vi frekvensen i hver aldersgruppe (klassebredden ganget med histogramhøyden), og legger sammen frekvensen i alle aldersgruppene.

$15\cdot 3+5\cdot 5+10\cdot 7+20\cdot 5+30\cdot 1=270$

Det bor 270 personer i boligområdet.

b)

c)

I et søylediagram er det lettere å se antall personer i hver aldersgruppe. Mange vil kanskje foretrekke søylediagram, da antall personer i hver aldersgruppe blir lett å sammenligne.

I et histogram er det lettere å se bredden på de ulike aldersgruppene.

Valg av diagram kommer altså an på hvilken informasjon man vil legge vekt på.

a)

Legger inn verdiene i regnearket i Geogebra og bruker Regresjonsanalyse for å finne en eksponentiell modell. Husk at x=0 i 1920, x=20 i 1940 osv.

Vi har vist at modellen $f(x)=1775,6\cdot 1,{015}^x$ passer fint med tallene i tabellen.

b)

Vekstfaktoren i modellen er 1,015, det betyr at folketall øker med 1,5% per år ifølge modellen.

c)

Tegner funksjonen f(x) i Geogebra. Lager punktene $A=(70,f(70))$ og $B=(95,f(95))$. Bruker knappen "Linje" til å lage linja h som går gjennom punkt A og B. Bruker knappen "Stigning" til å finne stigninga til linjen h. Stigningen a=90,8.

Det vil si at folketallet steg med gjennomsnittlig 90,8 millioner per år fra 1990 til 2015.

d)