R1 2020 vår LØSNING

oppgave

Diskusjon av denne oppgaven på matteprat

Løsningsforslag til del 1 av Kristian Saug

Løsningsforslag del 2 av Kristian Saug

Løsningsforslag av Svein Arneson

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Oppgave 1

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^6+3x^5+ln(x) \\ {f}^{\prime }(x)=6x^5+15x^4+\frac{1}{x} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=2x^2\cdot e^{2x-1} \\ {g}^{\prime }(x)=4x\cdot e^{2x-1}+2x^2\cdot 2\cdot e^{2x-1}=(1+x)4x\cdot e^{2x-1} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=\frac{4x-1}{x+2} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{4(x+2)-(4x-1)}{(x+2{)}^2}=\frac{9}{(x+2{)}^2} \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} ln(x^2)+ln(x)=12 \\ 2ln(x)+ln(x)=12 \\ 3ln(x)=12 \\ {e}^{ln(x)}=e^4 \\ x=e^4 \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} e^{2x}-e^x=6 \\ (e^x{)}^2-e^x-6=0 \\ u=e^x \\ {u}^2-u-6=0 \\ u=3\vee u=-2 \\ {e}^x=3\vee e^x=-2 \\ x=ln(3) \end{gathered}$$

$e^x=-2$ har ingen løsning.

Oppgave 3

$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-2$ og $|\overrightarrow{u}|=3$ og $|\overrightarrow{v}|=2$

$\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v}$ og $\overrightarrow{b}=t\cdot \overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v}$

a)

Dersom to vektorer er parallelle:

$$\begin{gathered} k\overrightarrow{a}=\overrightarrow{b} \\ k(2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v})=t\cdot \overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v} \\ 2k\overrightarrow{u}=t\cdot u\wedge 3k\cdot \overrightarrow{v}=5\overrightarrow{v} \\ t=2k\wedge k=\frac{5}{3} \\ t=\frac{10}{3} \end{gathered}$$

b)

Når to vektorer står normalt på hverandre er skalarproduktet null:

$$\begin{gathered} (2\overrightarrow{u}+3\overrightarrow{v})(t\cdot \overrightarrow{u}+5\overrightarrow{v})=0 \\ 2\cdot t\cdot \overrightarrow{u^2}+10\cdot \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+3\cdot t\cdot \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}+15\overrightarrow{v^2} \end{gathered}$$

Fra oppgaveteksten vet vi at: $$\begin{gathered} \overrightarrow{u^2}=|\overrightarrow{u}|\cdot |\overrightarrow{u}|=9 \\ \overrightarrow{v^2}=|\overrightarrow{v}|\cdot |\overrightarrow{v}|=4 \\ \overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=-2 \end{gathered}$$

Setter inn og får:

$$\begin{gathered} 2\cdot t\cdot 9+10\cdot (-2)+3\cdot t\cdot (-2)+15\cdot 4=0 \\ 12t=-40 \\ t=-\frac{10}{3} \end{gathered}$$

Oppgave 4

a)

Dersom polynomet går opp i (x-1) må P(1) være lik null:

$P(1)=6\cdot 1^3-5\cdot 1^2-2\cdot 1+1=6-5-2+1=0$, altså går divisjonen P(x) : (x-1) opp.

b)

Faktoriserer så $6x^2+x-1$:

$$\begin{gathered} x=\frac{-1\pm \sqrt{1-4\cdot 6\cdot (-1)}}{12}=\frac{-1\pm 5}{12} \\ x=-\frac{1}{2}\vee x=\frac{1}{3} \end{gathered}$$

$6x^2+x-1=6(x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3})=(2x+1)(3x-1)$

Altså kan man skrive:

$P(x)=(x-1)(2x+1)(3x-1)$

c)

$F(x)=\frac{P(x)}{(x^2-1)}=\frac{(2x+1)(3x-1)}{(x+1)}$

Nå må vi huske at nevneren fører til at F(x) ikke er definert for x = -1 eller for x = 1.

Setter inn i et fortegnsskjema, for å drøfte fortegnet til F(x):

Vi får tre områder der F er større eller lik null:

$x\in <-1,-\frac{1}{2}]\cup [\frac{1}{3},1>\cup <1,\to >$

d)

$P(x)=(x-1)(2x+1)(3x-1)$ og $F(x)=\frac{P(x)}{x^2-1}=\frac{(x-1)(2x+1)(3x-1)}{(x+1)(x-1)}=\frac{(2x+1)(3x-1)}{(x+1)}$

$\underset{x\to 1}{lim}F(x)=\frac{(2\cdot 1+1)(3\cdot 1-1)}{(1+1)}=\frac{6}{2}=3$

$\underset{x\to -1}{lim}F(x)=\frac{(2\cdot -1+1)(3\cdot -1-1)}{(-1+1)}=$

Når x går mot -1 går telleren mot 4 og nevneren mot 0. Grensen eksisterer ikke.

Oppgave 5

a)

Vi velger 3 av 8 bøker. Rekkefølgen vi trekker i har ikke betydning. Hvor mange kombinasjoner finnes? :

$3C8=\frac{8!}{5!\cdot 3!}=\frac{8\cdot 7\cdot 6}{3\cdot 2\cdot 1}=8\cdot 7=56$

Det er mulig å velge 56 kombinasjoner av bøker.

b)

Dette er en hypergeometrisk situasjon. Vi trekker 4 og 3 skal være riktige:

$\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{3})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4})}=\frac{1\cdot 5}{70}=\frac{1}{14}$

c)

Det "motsatte" av minst to er null og en; dersom drikke får minst to, får du enten null eller en.

Vi finner P (minst to bøker) = 1 - ( P( null bøker) + P( en bok) )

På matematikkspråk er dette sannsynligheten av komplementære hendelser, og ikke "motsatte" som vi skrev over.

$P(x=0)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{0})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{4})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4})}=\frac{1\cdot 5}{70}=\frac{1}{14}$

$P(x=1)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{4})}=\frac{1\cdot 5}{70}=\frac{3}{7}$

Vi får da P( minst to riktige bøker) = $1-\frac{1}{14}-\frac{3}{7}=0,5$ , altså 50 % sjanse for minst to riktige.

Vi kunne også ha regnet ut sannsynligheten for to riktige og lagt det til sannsynligheten for tre, som vi regnet ut i b, kanskje litt tidsbesparende.

Oppgave 6

a)

AB har lengden 6 og DC har lengden 2x. Høyden er f(x):

$F(x)=\frac{6+2x}{2}\cdot (9-x^2)=-x^3-3x^2+9x+27$

b)

$F^{\prime }(x)=-3x^2-6x+9$

$F^{\prime }(x)=0$ gir x= -3 eller x = 1.

Av uttrykket for den deriverte ser man at den deriverte går fra positv til negativ i nullpunktet x = 1 ( parabelen vender sin hule side ned.)

$F(1)=-1-3+9+27=32$

Størst areal er 32, når x = 1.

Oppgave 7

Vinkel D er 65 grader, da er vinkel w = 130 grader. (periferi / sentral vinkel) Av samme grunn er u = 65 grader. I trekanten BCE er vinkelen i E (180-35-65) grader = 80 grader. Det gjør at vinkel v = 100 grader.

Oppgave 1

a)

Tellingen av en bil skal ikke påvirke den neste. Dersom hun teller bilene i en "elbil kortesje" blir det feil. Hun må anta at populasjonen av biler er stor i forhold til de 100 hun teller, slik at det ikke endrer sannsynligheten (man kan tenke at å telle en bil er det samme som å trekke ut, uten tilbakelegging. Dersom populasjonen er stor i forhold til utvalget vil ikke sannsynligheten påvirkes i nevneverdig grad.)

Oppgave 2

a)

Begge linjene har stigningstall 5, altså er de parallelle.

b)

Som skulle vises.

Oppgave 3

a)

b)

Vi finner fartsvektorene ved å derivere posisjonsvektorene:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{v_1(t)}=(\overrightarrow{r_1(t)}{)}^{\prime }=[2t,3t^2-2] \\ \overrightarrow{v_2(t)}=(\overrightarrow{r_2(t)}{)}^{\prime }=[2,4-8t] \end{gathered}$$

Banefarten til partikkel 1 blir da: $|\overrightarrow{v_1(-1)}|=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$

Banefart partikkel 2: $|\overrightarrow{v_2(-1)}|=\sqrt{4+144}=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$

Banefarten er henholdsvis ca. 2,2 m/s og ca. 12,2 m/s når t = - 1.

c)

Dersom begge partiklene skal ha samme fartsrettning må forholdet mellom fartskomponentene i x retning og y- retning være den samme:

Fartsretningen er den samme ved t = - 0,28 sek og ved t = 0,65 sek.