R1 2020 vår LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

$f (x) = x^{6} + 3 x^{5} + l n (x) f^{'} (x) = 6 x^{5} + 15 x^{4} + \frac{1}{x}$

b)

$g (x) = 2 x^{2} \cdot e^{2 x - 1} g^{'} (x) = 4 x \cdot e^{2 x - 1} + 2 x^{2} \cdot 2 \cdot e^{2 x - 1} = (1 + x) 4 x \cdot e^{2 x - 1}$

c)

$h (x) = \frac{4 x - 1}{x + 2} h^{'} (x) = \frac{4 (x + 2) - (4 x - 1)}{(x + 2)^{2}} = \frac{9}{(x + 2)^{2}}$

Oppgave 2

a)

$l n (x^{2}) + l n (x) = 12 2 l n (x) + l n (x) = 12 3 l n (x) = 12 e^{l n (x)} = e^{4} x = e^{4}$

b)

$e^{2 x} - e^{x} = 6 (e^{x})^{2} - e^{x} - 6 = 0 u = e^{x} u^{2} - u - 6 = 0 u = 3 \lor u = - 2 e^{x} = 3 \lor e^{x} = - 2 x = l n (3)$

$e^{x} = - 2$ har ingen løsning.

Oppgave 3

$\vec{u} \cdot \vec{v} = - 2$ og $| \vec{u} | = 3$ og $| \vec{v} | = 2$

$\vec{a} = 2 \vec{u} + 3 \vec{v}$ og $\vec{b} = t \cdot \vec{u} + 5 \vec{v}$

a)

Dersom to vektorer er parallelle:

$k \vec{a} = \vec{b} k (2 \vec{u} + 3 \vec{v}) = t \cdot \vec{u} + 5 \vec{v} 2 k \vec{u} = t \cdot u \land 3 k \cdot \vec{v} = 5 \vec{v} t = 2 k \land k = \frac{5}{3} t = \frac{10}{3}$

b)

Når to vektorer står normalt på hverandre er skalarproduktet null:

$(2 \vec{u} + 3 \vec{v}) (t \cdot \vec{u} + 5 \vec{v}) = 0 2 \cdot t \cdot \vec{u^{2}} + 10 \cdot \vec{u} \cdot \vec{v} + 3 \cdot t \cdot \vec{u} \cdot \vec{v} + 15 \vec{v^{2}}$

Fra oppgaveteksten vet vi at: $\vec{u^{2}} = | \vec{u} | \cdot | \vec{u} | = 9 \vec{v^{2}} = | \vec{v} | \cdot | \vec{v} | = 4 \vec{u} \cdot \vec{v} = - 2$

Setter inn og får:

$2 \cdot t \cdot 9 + 10 \cdot (- 2) + 3 \cdot t \cdot (- 2) + 15 \cdot 4 = 0 12 t = - 40 t = - \frac{10}{3}$

Oppgave 4

a)

Dersom polynomet går opp i (x-1) må P(1) være lik null:

$P (1) = 6 \cdot 1^{3} - 5 \cdot 1^{2} - 2 \cdot 1 + 1 = 6 - 5 - 2 + 1 = 0$ , altså går divisjonen P(x) : (x-1) opp.

b)

Faktoriserer så $6 x^{2} + x - 1$ :

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 6 \cdot (- 1)}}{12} = \frac{- 1 \pm 5}{12} x = - \frac{1}{2} \lor x = \frac{1}{3}$

$6 x^{2} + x - 1 = 6 (x + \frac{1}{2}) (x - \frac{1}{3}) = (2 x + 1) (3 x - 1)$

Altså kan man skrive:

$P (x) = (x - 1) (2 x + 1) (3 x - 1)$

c)

$F (x) = \frac{P (x)}{(x^{2} - 1)} = \frac{(2 x + 1) (3 x - 1)}{(x + 1)}$

Nå må vi huske at nevneren fører til at F(x) ikke er definert for x = -1 eller for x = 1.

Setter inn i et fortegnsskjema, for å drøfte fortegnet til F(x):

Vi får tre områder der F er større eller lik null:

$x \in< - 1, - \frac{1}{2}] \cup [\frac{1}{3}, 1 > \cup < 1, \to>$

d)

$P (x) = (x - 1) (2 x + 1) (3 x - 1)$ og $F (x) = \frac{P (x)}{x^{2} - 1} = \frac{(x - 1) (2 x + 1) (3 x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(2 x + 1) (3 x - 1)}{(x + 1)}$

$lim_{x \to 1} F (x) = \frac{(2 \cdot 1 + 1) (3 \cdot 1 - 1)}{(1 + 1)} = \frac{6}{2} = 3$

$lim_{x \to - 1} F (x) = \frac{(2 \cdot - 1 + 1) (3 \cdot - 1 - 1)}{(- 1 + 1)} =$

Når x går mot -1 går telleren mot 4 og nevneren mot 0. Grensen eksisterer ikke.

Oppgave 5

a)

Vi velger 3 av 8 bøker. Rekkefølgen vi trekker i har ikke betydning. Hvor mange kombinasjoner finnes? :

$3 C 8 = \frac{8!}{5! \cdot 3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 8 \cdot 7 = 56$

Det er mulig å velge 56 kombinasjoner av bøker.

b)

Dette er en hypergeometrisk situasjon. Vi trekker 4 og 3 skal være riktige:

$\frac{(\binom{3}{3}) (\binom{5}{1})}{(\binom{8}{4})} = \frac{1 \cdot 5}{70} = \frac{1}{14}$

c)

Det "motsatte" av minst to er null og en; dersom drikke får minst to, får du enten null eller en.

Vi finner P (minst to bøker) = 1 - ( P( null bøker) + P( en bok) )

På matematikkspråk er dette sannsynligheten av komplementære hendelser, og ikke "motsatte" som vi skrev over.

$P (x = 0) = \frac{(\binom{3}{0}) (\binom{5}{4})}{(\binom{8}{4})} = \frac{1 \cdot 5}{70} = \frac{1}{14}$

$P (x = 1) = \frac{(\binom{3}{1}) (\binom{5}{3})}{(\binom{8}{4})} = \frac{1 \cdot 5}{70} = \frac{3}{7}$

Vi får da P( minst to riktige bøker) = $1 - \frac{1}{14} - \frac{3}{7} = 0, 5$ , altså 50 % sjanse for minst to riktige.

Vi kunne også ha regnet ut sannsynligheten for to riktige og lagt det til sannsynligheten for tre, som vi regnet ut i b, kanskje litt tidsbesparende.

Oppgave 6

a)

AB har lengden 6 og DC har lengden 2x. Høyden er f(x):

$F (x) = \frac{6 + 2 x}{2} \cdot (9 - x^{2}) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x + 27$

b)

$F^{'} (x) = - 3 x^{2} - 6 x + 9$

$F^{'} (x) = 0$ gir x= -3 eller x = 1.

Av uttrykket for den deriverte ser man at den deriverte går fra positv til negativ i nullpunktet x = 1 ( parabelen vender sin hule side ned.)

$F (1) = - 1 - 3 + 9 + 27 = 32$

Størst areal er 32, når x = 1.

Oppgave 7

Vinkel D er 65 grader, da er vinkel w = 130 grader. (periferi / sentral vinkel) Av samme grunn er u = 65 grader. I trekanten BCE er vinkelen i E (180-35-65) grader = 80 grader. Det gjør at vinkel v = 100 grader.

Oppgave 8

a)

Linjen l har parameterfremstilling:

$l : {\begin{array}{rcl} x = t \\ y = 2 t + 1 \end{array}$

For en vilkårlig t verdi er D (t, 2t + 1)

$\vec{A D} = [t - (- 1), (2 t + 1) - 1] = [t + 1, 2 t]$ , som skulle vises.

b)

$\vec{A D} = [t + 1, 2 t]$ og $\vec{C D} = [t - 7, 2 t - 4]$

Lengden av AD og CD vektor skal være like.

$| \vec{A D} |^{2} = | \vec{C D} |^{2}$

DEL TO

Oppgave 1

a)

Tellingen av en bil skal ikke påvirke den neste. Dersom hun teller bilene i en "elbil kortesje" blir det feil. Hun må anta at populasjonen av biler er stor i forhold til de 100 hun teller, slik at det ikke endrer sannsynligheten (man kan tenke at å telle en bil er det samme som å trekke ut, uten tilbakelegging. Dersom populasjonen er stor i forhold til utvalget vil ikke sannsynligheten påvirkes i nevneverdig grad.)

b)

c)

Oppgave 2

a)

Begge linjene har stigningstall 5, altså er de parallelle.

b)

Som skulle vises.

Oppgave 3

a)

b)

Vi finner fartsvektorene ved å derivere posisjonsvektorene:

$\vec{v_{1} (t)} = (\vec{r_{1} (t)})^{'} = [2 t, 3 t^{2} - 2] \vec{v_{2} (t)} = (\vec{r_{2} (t)})^{'} = [2, 4 - 8 t]$

Banefarten til partikkel 1 blir da: $| \vec{v_{1} (- 1)} | = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Banefart partikkel 2: $| \vec{v_{2} (- 1)} | = \sqrt{4 + 144} = \sqrt{148} = 2 \sqrt{37}$

Banefarten er henholdsvis ca. 2,2 m/s og ca. 12,2 m/s når t = - 1.

c)

Dersom begge partiklene skal ha samme fartsrettning må forholdet mellom fartskomponentene i x retning og y- retning være den samme:

Fartsretningen er den samme ved t = - 0,28 sek og ved t = 0,65 sek.

R1 2020 vår LØSNING

DEL EN

Oppgave 1

a)

b)

c)

Oppgave 2

a)

b)

Oppgave 3

a)

b)

Oppgave 4

a)

b)

c)

d)

Oppgave 5

a)

b)

c)

Oppgave 6

a)

b)

Oppgave 7

Oppgave 8

a)

b)

DEL TO

Oppgave 1

a)

b)

c)

Oppgave 2

a)

b)

Oppgave 3

a)

b)

c)

d)

Oppgave 4

Innholdto top