1T 2020 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning av LektorNilsen

DEL 1

Oppgave 1

$y=2x-1$

Stigningstallet er 2 fordi y-verdien til funksjonen øker med 2 for hver gang x-verdien øker med 1. Konstantleddet er -1, der linjen krysser y-aksen.

Oppgave 2

$\frac{6,2\cdot {10}^4\cdot 2,5\cdot {10}^8}{0,0005}=\frac{6,2\cdot {10}^4\cdot 2,5\cdot {10}^8}{5\cdot {10}^{-4}}=6,2\cdot {10}^4\cdot 0,5\cdot {10}^8\cdot {10}^4=3,1\cdot {10}^{4+8+4}=3,1\cdot {10}^{16}$

Oppgave 3

$$\begin{gathered} I.x+2y=16 \\ II.3x-y=6 \end{gathered}$$

Ganger likning II med 2, og legger sammen likning I og II.

$$\begin{gathered} II.3x-y=6|\cdot 2 \\ II.6x-2y=12 \end{gathered}$$

Likning I + II:

$$\begin{gathered} x+2y=16 \\ +(6x-2y=12) \\ -------- \\ 7x=28 \\ x=4 \end{gathered}$$

Setter inn x = 4 i likning I:

$$\begin{gathered} 4+2y=16 \\ y=\frac{16-4}{2} \\ y=6 \end{gathered}$$

Løsningen er x = 4 og y = 6. Du kan sjekke at det er riktig ved å sette inn disse verdiene i likning I og II, og se at likhetene stemmer.

Oppgave 4

$\frac{(x+y{)}^2-4xy}{x-y}=\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{x-y}=\frac{x^2-2xy+y^2}{x-y}=\frac{(x-y{)}^2}{x-y}=x-y$

Oppgave 5

$4x^2+kx+\frac{1}{4}=(2x{)}^2+kx+(\frac{1}{2}{)}^2$

Uttrykket er et fullstendig dersom:

$$\begin{gathered} kx=\pm 2\cdot 2x\cdot \frac{1}{2} \\ kx=\pm 2x \\ k=\pm 2 \end{gathered}$$

Oppgave 6

$\frac{5^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{-1}\cdot 8^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{20}\cdot 3^0}=\frac{\sqrt{5}\cdot (2^2{)}^{-1}\cdot (2^3{)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 1}=\frac{2^{-2}\cdot 2^2}{2}=\frac{1}{2}$

Oppgave 7

$\frac{lg1000\cdot lg\frac{1}{10}}{lg0,01\cdot lg{10}^{-\frac{1}{2}}}=\frac{3\cdot (-1)}{-2\cdot (-\frac{1}{2})}=\frac{-3}{1}=-3$

Oppgave 8

a)

$$\begin{gathered} \frac{2^{2+x}}{2^{1-2x}}=64 \\ {2}^{2+x-(1-2x)}=2^6 \\ {2}^{2+x-1+2x}=2^6 \\ {2}^{3x+1}=2^6 \\ 3x+1=6 \\ x=\frac{6-1}{3} \\ x=\frac{5}{3} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} lg(\frac{1}{x^2-3x})=-1 \\ {10}^{lg(\frac{1}{x^2-3x})}={10}^{-1} \\ \frac{1}{x^2-3x}=\frac{1}{10} \\ {x}^2-3x=10 \\ {x}^2-3x-10=0 \\ (x+2)(x-5)=0 \\ x=-2\vee x=5 \end{gathered}$$

Oppgave 9

- linjen $y=2x-4$ vil skjære y-aksen i x = -4, det samme som grafen til funksjonen $f$.

- linjen $y=2x-4$ vil øke med 2 enheter på y-aksen for hver enhet på x-aksen. Dermed krysser den grafen til funksjonen $f$ i punktet (5,6). Du kan vise dette ved å tegne linjen og grafen til funksjonen f i samme koordinatsystem.

- Grafen til funksjonen $f$ vil befinne seg under linjen $y=2x-4$ når $x\in ⟨0,5⟩$

Vi har $f(x)<2x-4$ for $x\in ⟨0,5⟩$

Oppgave 10

$f(x)=x^3+3x^2+3$

$f^{\prime }(x)=3x^2+6x$

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=-3 \\ 3x^2+6x=-3 \\ 3x^2+6x+3=0|:3 \\ {x}^2+2x+1=0 \\ (x+1)(x+1)=0 \\ x=-1 \end{gathered}$$

Grafen til $f$ har bare én tangent med stigningstallet -3.

Tangenten treffer funksjonen i punktet (-1, f(-1)).

$f(-1)=(-1{)}^3+3(-1{)}^2+3=-1+3+3=5$

Likning for tangenten:

$$\begin{gathered} y-y_1=a(x-x_1) \\ y-5=-3(x-(-1)) \\ y-5=-3x-3 \\ y=-3x+2 \end{gathered}$$

Oppgave 11

a)

$P(\bar{C}\cap \bar{G})=P(\bar{C})\cdot P(\bar{G})=\frac{8}{10}\cdot \frac{7}{9}=\frac{56}{90}=\frac{28}{45}$

Sannsynligheten for at verken Charlotte eller Gunnar blir trukket ut er $\frac{28}{45}$

b)

$P(C\cap G)=P(C)\cdot P(G)=\frac{2}{10}\cdot \frac{1}{9}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45}$

Sannsynligheten for at det blir Charlotte og Gunnar som skal lage kampoppsettet er $\frac{1}{45}$

Oppgave 12

a)

Bruker Pytagorassetningen til å finne lengden av BC:

$$\begin{gathered} C{B}^2=A{B}^2+A{C}^2 \\ CB=\sqrt{1^2+1^2} \\ CB=\sqrt{2} \end{gathered}$$

$\mathrm{△}ABC$ er likebeint, og $\mathrm{\angle }A={90}^{\circ }$. De to andre vinklene må derfor være ${45}^{\circ }.$

Finner $sin{45}^{\circ }$:

$$\begin{gathered} sin\mathrm{\angle }ABC=\frac{AC}{BC} \\ sin{45}^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot 1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Finner $cos{45}^{\circ }$:

$$\begin{gathered} cos\mathrm{\angle }ABC=\frac{AB}{BC} \\ cos{45}^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}\cdot 1}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{gathered}$$

Vi har vist at $sin{45}^{\circ }=cos{45}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b)

Bruker arealsetningen.

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{2}\cdot PQ\cdot PR\cdot sin\mathrm{\angle }RPQ \\ A=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}\cdot 8\cdot sin{45}^{\circ }=3\cdot \sqrt{2}\cdot 8\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=24\cdot \frac{2}{2}=24 \end{gathered}$$

Arealet av trekant $\mathrm{△}PQR$ er 24.

c)

Brukes cosinussetningen:

$Q{R}^2=P{R}^2+P{Q}^2-2\cdot PR\cdot PQ\cdot cos\mathrm{\angle }RPQ$

$Q{R}^2=8^2+(6\sqrt{2}{)}^2-2\cdot 8\cdot 6\sqrt{2}\cdot cos{45}^{\circ }$

$Q{R}^2=64+36\cdot 2-96\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$Q{R}^2=64+72-96\cdot 1$

$Q{R}^2=40$

$QR=\sqrt{40}=\sqrt{4\cdot 10}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{10}=2\sqrt{10}$

Oppgave 13

Arealet av området er gitt ved $A=x\cdot y$.

Antall meter gjerde er gitt ved $x+2y=1000$. Bruker denne likningen til å uttrykket y ved x:

$$\begin{gathered} x+2y=1000 \\ y=\frac{1000-x}{2} \\ y=-\frac{x}{2}+500 \end{gathered}$$

Setter inn uttrykket for y i uttrykket for arealet:

$$\begin{gathered} A=x\cdot y \\ A=x\cdot (-\frac{x}{2}+500) \\ A=-\frac{1}{2}{x}^2+500x \end{gathered}$$

Arealet er nå gitt som en andregradsfunksjon med negativt andregradsledd. Funksjonen vil følgelig ha et toppunkt. Bruker derivasjon til å finne x-verdien til dette toppunktet:

$A^{\prime }(x)=-x+500$

Setter $A^{\prime }(x)=0$

$$\begin{gathered} -x+500=0 \\ x=500 \end{gathered}$$

Setter inn x=500 i uttrykket for y:

$y=-\frac{500}{2}+500=-250+500=250$

Arealet blir størst mulig når x = 500 meter og y = 250 meter.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å tegne grafen til P.

b)

Legger inn linja y = 92, og bruker "Skjæring mellom to objekt" for å finne skæringspunktene mellom denne linjen og grafen til $P$. Leser av x-verdien til skjæringspunktene A, B og C, og beregner antall minutter hvor Ole hadde høyere enn 92% av makspuls:

$(30-12.7)+(50-47.3)=20$

Pulsen til Ole høyere enn 92 % av makspuls i 20 minutter.

c)

Den momentane vekstfarten til funksjonen $P$ når x = 5 er ca 1,575 % av makspuls per minutt. Det betyr at etter 5 minutter med skirenn, så øker pulsen til Ole med 1,575 % av makspulsen per minutt.

Oppgave 2

a)

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra. En lineær funksjon $M$ som kan beskrive utviklingen i perioden 2000–2020, er gitt ved $M(x)=21,3x+34,8$, der x er antall år etter 2000.

b)

Stigningstallet til funksjonen $M$, 21.3 forteller at antall personer som deltok i et mosjonsløp i årene 2000-2020 økte med gjennomsnittlig 21.3 personer per år.

Oppgave 3

$P(I\cap \bar{K})=\frac{11}{20}=55$

Sannsynligheten for at eleven er med i idrettslaget, men ikke i korpset, er 55%.

Oppgave 4

a)

Bruker CAS i Geogebra til å bestemme $f^{\prime }(x)$.

b)

Den deriverte er et andregradsuttrykk med positivt andregradsledd. Den deriverte har derfor et bunnpunkt, som vi finner i CAS med kommandoen "Ekstremalpunkt":

Bunnpunktet til den deriverte av f er der hvor y-verdien til den deriverte er mest negativ, og derfor der hvor grafen til f synker raskest. Dette skjer i $x=\frac{a+b}{3}=\frac{1}{3}(a+b)$, som skulle vises.

c)

Linje 4 på CAS: finner ligning til tangenten g(x) til grafen til f i punktet $(\frac{a}{2},f(\frac{a}{2}))$

Linje 5 på CAS: finner skjæringspunktene mellom grafen til f og tangenten g. De skjærer hverandre i tangeringspunktet $(\frac{a}{2},f(\frac{a}{2}))$, og i punktet $(b,c)$, som skulle vises.