DEL 1

Oppgave 1

a)

$2 (3 x + 2) = 2 x (x + 2) + 4 6 x + 4 = 2 x^{2} + 4 x + 4 - 2 x^{2} + 2 x = 0 | : (- 2) x^{2} - x = 0 x (x - 1) = 0 x = 0 \lor x = 1$

b)

$3^{x} \cdot 3^{2} = \frac{1}{3^{5}} 3^{x + 2} = 3^{- 5} x + 2 = - 5 x = - 7$

c)

$l g (3 x - 2) = 2 l g x l g (3 x - 2) = l g (x^{2}) 10^{l g (3 x - 2)} = 10^{l g (x^{2})} 3 x - 2 = x^{2} - x^{2} + 3 x - 2 = 0 | : (- 1) x^{2} - 3 x + 2 = 0 (x - 1) (x - 2) = 0 x = 1 \lor x = 2$

Oppgave 2

a)

$\frac{4 a^{3} (a^{- 2} b^{3})^{2}}{(2^{- 1})^{- 2} a b^{4}} = \frac{4 a^{3} \cdot a^{- 4} \cdot b^{6}}{2^{2} \cdot a b^{4}} = a^{3 - 4 - 1} \cdot b^{6 - 4} = a^{- 2} \cdot b^{2} = (\frac{b}{a})^{2}$

b)

$\frac{1}{x - 1} - \frac{2 x}{x^{2} - 1} + 1 = \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{2 x}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x + 1 - 2 x + (x^{2} - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2} - x}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x}{x + 1}$

Oppgave 3

$x^{2} - 3 x + 2 \leq 0 (x - 1) (x - 2) \leq 0$

Nullpunkter: $x = 1$ og $x = 2$

$x^{2} - 3 x + 2 \leq 0$ når $x \in [1, 2]$

Oppgave 4

Vi lar $x$ være antall gullmedaljer, og $y$ være antall sølvmedaljer.

$I x + y = 16 I I 7 x + 5 y = 102$

$I y = 16 - x$

$I I 7 x + 5 (16 - x) = 102 7 x + 80 - 5 x = 102 2 x = 102 - 80 x = \frac{22}{2} = 11$

Norge tok 11 gullmedaljer i vinter-OL i 2014.

Oppgave 5

a)

$P (t o l i k e) = P ((B \cap B) \cup (R \cap R)) = \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} + \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{12} + \frac{2}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

Sannsynligheten for at Mia må ta oppvasken dersom de følger dette forslaget er $\frac{1}{3}$ .

b)

La $x$ være antall røde kuler.

$P (t o u l i k e) = P ((B \cap R) \cup (R \cap B)) = \frac{2}{2 + x} \cdot \frac{x}{2 + x - 1} + \frac{x}{2 + x} \cdot \frac{2}{2 + x - 1} = \frac{2 x}{(2 + x) (1 + x)} \cdot 2 = \frac{4 x}{x^{2} + 2 x + x + 2} = \frac{4 x}{x^{2} + 3 x + 2}$

Setter $P (t o u l i k e) < \frac{1}{2}$

$\frac{4 x}{x^{2} + 3 x + 2} < \frac{1}{2} 8 x < x^{2} + 3 x + 2 - x^{2} + 5 x - 2 < 0 x^{2} - 5 x + 2 > 0 x > \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2} x_{1} > \frac{5 + \sqrt{17}}{2} \lor x_{2} > \frac{5 - \sqrt{17}}{2}$

Velger den positive løsningen, $x_{1}$ . Vi vet at $\sqrt{17} > 4$ , siden $\sqrt{16} = 4$ .

$x_{1} > \frac{5 + 4}{2} x_{1} > 4, 5$

Det må ligge flere enn 5 røde kuler i krukken, dersom sannsynligheten for at de to kulene som trekkes har ulik farge, er mindre enn 50 %.

Oppgave 6

$∙$ Vi har en vertikal asymptote i x = 3. Det vil si at nevner er lik null når x = 3.

$3 + c = 0 \Rightarrow c = - 3$

$∙$ Vi lar x gå mot uendelig:

$l i m_{x \to \infty} \frac{a x + b}{x + c} \approx l i m_{x \to \infty} \frac{a x}{x} = a$

Vi har en horisontal asymptote i y = -2, og har derfor $a = - 2$

$∙$ Ser at vi har et nullpunkt i x=2. Setter $f (x) = 0$

$\frac{a x + b}{x + c} = 0 \frac{- 2 \cdot 2 + b}{x - 3} = 0 - 4 + b = 0 b = 4$

Vi har $a = - 2$ , $b = 4$ og $c = - 3$ .

Oppgave 7

a)

Skriver om ulikhetene på formen y=ax+b. Tegner inn disse linjene i et koordinatsystem (du må gjøre det for hånd).

$- 2 x + 5 y \leq 8 \Rightarrow y \leq \frac{2}{5} x + \frac{8}{5} \Rightarrow y \leq 0, 4 x + 1, 6$

$2 x + y \geq 4 \Rightarrow y \geq - 2 x + 4$

$2 x - y \leq 8 \Rightarrow y \geq 2 x - 8$

b)

Regner ut verdien til uttrykket $- 2 x + 3 y$ i hjørnene:

Hjørnet (1,2): $- 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 = - 2 + 6 = 4$

Hjørnet (3,-2): $- 2 \cdot 3 + 3 \cdot (- 2) = - 6 - 6 = - 12$

Hjørnet (6,4): $- 2 \cdot 6 + 3 \cdot 4 = - 12 + 12 = 0$

Uttrykket $- 2 x + 3 y$ kan få alle verdier i intervallet $[- 12, 4]$ , dersom (x,y) skal ligge i M.

S1 2020 høst LØSNING