Tensor

Hvorfor lære om tensorer?

Dersom man ønsker forståelse for kvantemekanikk, relativitet, romtid og generelt om felt.

Definisjon tensor.

1. En tensor en samling av vektorer og kovektorer kombinert med tensorproduktet.

2.

3.

Transformering mellom forskjellig basis.

Vi starter med vektoren u. om vi legger den inn i et koordinatsystem med basisvektorer $e_1$ og $e_2$ (Rød) får vi et ortonormert koordinatsystem som vi er vant med. Vektoren u kan da uttrykkes som $\overrightarrow{u}=4\overrightarrow{e_1}+3e_2$, altså en lineær kombinasjon av de to enhetsvektoren. Dersom vi nå endre basisen til $\widetilde{\overrightarrow{e_1}}$ og $\widetilde{\overrightarrow{e_1}}$ (Blå). I det blå koordinatsystemet har enhetsvektoren forskjellige lengder og vinkel mellom dem er ikke 90 grader. Vektoren u er den samme. I det blå koordinatsystemet kan u trykkes som $\overrightarrow{u}=1\widetilde{\overrightarrow{e_1}}+0,5\widetilde{\overrightarrow{e_2}}$. Vektoren u er den samme, men linærkombinasjonene endres fordi enhetsvektoren endres. eksempel er i to dimensjoner. Vi trenger et system som virker mellom forskjellige vektorbasiser i n dimensjoner.

Vi ser litt nærmere på koordinatsystemene. Rød er gammel basis og blå er ny.

Vi kan uttrykke ny basis som:

$\widetilde{\overrightarrow{e_1}}=6\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$

$\widetilde{\overrightarrow{e_2}}=-2\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$

Koeffisientene til de gamle enhetsvektoren gir følgende matrise:

$F=\left[\begin{array}{cc}6& -2\\ 2& 2\end{array}\right]$ Vi kaller matrisen F for framover, fra gammel til ny basis.

Fra ny til gammel basis:

$\overrightarrow{e_1}=\frac{1}{8}\widetilde{\overrightarrow{e_1}}-\frac{1}{8}\widetilde{\overrightarrow{e_2}}$

$\overrightarrow{e_2}=\frac{1}{8}\widetilde{\overrightarrow{e_1}}+\frac{3}{8}\widetilde{\overrightarrow{e_2}}$

Vi kaller matrisen B for bakover, fra ny til gammel:

$B=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{8}& \frac{1}{8}\\ -\frac{1}{8}& \frac{3}{8}\end{array}\right]$

Hva er sammenhengen mellom F og B? Vi multiplisere dem sammen:

$F\cdot B=\left[\begin{array}{cc}6& -2\\ 2& 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{cc}\frac{1}{8}& \frac{1}{8}\\ -\frac{1}{8}& \frac{3}{8}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\frac{6}{8}+\frac{2}{8}& \frac{6}{8}-\frac{6}{0}\\ \frac{2}{8}\frac{2}{8}& \frac{2}{8}+\frac{6}{8}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right]$