1T 2024 vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsning laget av Sindre Sogge Heggen

Del 1

Oppgave 1

a)

Tangens til vinkelen er definert som motstående katet, delt på hosliggende katet.

$\tan (u)\cdot \tan (v)=\frac{6}{8}\cdot \frac{8}{6}=1$

Dette betyr at Tom sin påstand er riktig.

b)

I denne oppgaven skal vi avgjøre om påstanden stemmer for alle rettvinklete trekanter. En generell rettvinklet trekant kan se slik ut:

$tan(u)\cdot tan(v)=\frac{B}{A}\cdot \frac{A}{B}=\frac{A}{A}\cdot \frac{B}{B}=1$

Påstanden stemmer for alle trekanter av den typen.

Oppgave 2

Dersom P(a) = 0, er P(x) delelig på (x-a)

$P(x)=2x^3+3x^2-11x-6$

P(0)=-6, P(-1)= 6, P(1)= -12, P(2)= 0. Vi ser også at $P(-3)=-54+27+33-6=0$ Vi observerer at polynomet skifter fortegn mellom P(0) og P(-1). Det kan derfor være fristende å teste om $x=-\frac{1}{2}$ er en rot i polynomet: $P(-\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}+\frac{3}{4}+5,5-6=0$

Røttene er altså $x=-3,x=-\frac{1}{2}$ og x = 2.

Polynomet P er da delelig på (x+3), (x + 0,5) og (x-2)

Dersom man deler på (x-2):

Dersom man dividerer tredjegradspolynomet på andregradspolynomet bør man jo få (x-2) som resultat:

Dersom linje tre i oppgaven er riktig må det bety at andregradspolynomet kan faktoriseres. Vi tester: $2x^2+7x+3$ og ser (ved hjelp av koefisientmetoden) at $2x^2+7x+3=2((x+3)(x+\frac{1}{2}))$

$P(x)=2x^3+3x^2-11x-6=(2x^2+7x+3)(x-2)=2(x-2)(x+\frac{1}{2})(x+3)$

Guri KAN ha utført de to divisjonene vist i oppgaven. Faktoriseringen hennes er riktig, men ikke fullstendig.

Oppgave 3

Stort kvadrat minus lite kvadrat:

$a((a-b)+b)-(b\cdot b)=a\cdot a-b\cdot b=a^2-b^2$

Sum av stort rektangel pluss lite rektangel:

$a(a-b)+b(a-b)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2$

Ett eksempel på en identitet, med utgangspunkt i grønt areal er: $a(a-b)+b(a-b)=a^2-b^2$