Rekker

Følger

En tallfølge er en ordnet liste med tall hvor hvert tall er assosiert med et positivt heltall $n$. Når vi skriver ut elementene etter stigende $n$ får vi en følge. Man kan betrakte en tallfølge som en funksjon fra de positive heltallene ${\mathbb{Z}}^{+}$ til de reelle tallene, $\mathbb{R}$, eventuelt til de komplekse tallene $\mathbb{C}$.

En følge kan være uendelig lang eller ha et endelig antall elementer.

Eksempel 1

1,2,3,4,5

Dette er en endelig følge med 5 elementer.

---

Eksempel 2

2,4,6,8,...

Dette er en uendelig lang følge. De tre prikkene til sist kjennetegner dette.

---

Eksempel 3

1,3,5,...,9

Denne følgen er endelig, men med mindre det er spesifisert vet vi ikke hvor mange elementer følgen består av.

Eksplisitte uttrykk

Følger kan uttrykkes som funksjoner $a_n$ (sammenlign med $f(x)$), der $n$ er et positivt heltall.

Eksempel 4

$a_n=n,n\in [3,7]$

Skriver vi ut denne følgen, får vi

3,4,5,6,7

---

Eksempel 5

$a_n=n^2$

Ettersom definisjonsmengden til $n$ ikke er spesifisert, kan vi gå ut ifra at følgen omfatter alle $n\in \mathbb{N}$. Skriver vi ut følgen får vi da

1,4,9,16,25,...

Rekursive uttrykk

Det er også mulig å definere følger ved å relatere de forskjellige leddene med hverandre. Da får vi ligninger på formen

$f(a_n,a_{n-1},...,a_1,a_0,n)=0$

Hvis vi sammen med et slikt uttrykk har informasjon om ett av leddene, er følgen entydig bestemt.

Dette kalles et rekursivt uttrykk og vises best gjennom noen eksempler:

Eksempel 6

$a_n=a_{n-1}+n,a_0=0$ Ettersom ingen opplysninger og definisjonsmengden til $n$ er gitt, kan vi gå ut ifra at følgen dekker alle positive heltallige $n$. Skriver vi ut følgen og starter fra $n=0$, får vi

0,1,3,6,10,15,...

I denne følgen er hvert ledd $a_n$ summen av de $n$ første heltallene. Dette ser vi også fra det rekursive uttrykket ved at hvert i hvert ledd legges det neste heltallet til summen av de forrige.

---

Eksempel 7

Følger trenger ikke være bestemt av én funksjon. Forskjellige funksjoner kan bestemme leddene i forskjellige deler av følgen.

$a_n=\begin{array}{ccc}0& \text{if}& n=0\\ 1& \text{if}& n=1\\ a_{n-1}+a_{n-2}& \text{if}& n>1\end{array}$ Hvis vi skriver ut denne følgen og starter fra $n=0$, får vi

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144...

Denne følgen kalles Fibonaccifølgen og har mange interessante geometriske og tallteoretiske egenskaper. Blant annet vil forholdet mellom to påfølgende tall gå mot Det gylne snitt når $n$ går mot uendelig.

Konvergens

Vi sier at en følge $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ konvergerer mot et element $a$ dersom $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=a$. En aritmetisk følge vil derfor ikke konvergere siden den vokser ubegrenset.

Eksempel 8

Følgen definert ved $f_n=\frac{1}{n}$ konvergerer mot $0$ når $n\to \mathrm{\infty }$ siden $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$

---

Følgen definert ved $g_n=\cos (\frac{1}{n})$ vil konvergere mot $1$ når $n\to \mathrm{\infty }$ siden argumentet går mot $0$ og $\cos (0)=1$.

Rekker

Dersom man setter pluss eller minus (eller en blanding) får man en rekke. Rekker består av ledd med tall.

De naturlige tallene

1, 2, 3, 4 ,5, ......

Rekken blir:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ............ + n

Leddets verdi er avhengig av posisjon i rekken. Dersom vi ser på ledd nummer fire, så er verdien 4, ledd fem har verdien 5 osv.

Eksplisitt formel

Dersom man uttrykker et ledd ved hjelp av leddets posisjon i rekken kalles det en eksplisitt formel

Den eksplisitte formelen blir da:

$a_n=n$

På den måten kan vi finne verdien til ledd nr. n.

Dersom vi kjenner verdien og plassen til ett ledd kan vi finne det neste. vi vet at ledd nr. n har verdien n. Siden dette er de naturlige tallene er forskjellen mellom to naboledd lik en.

Rekursiv formel

Dersom man uttrykker et ledd ved hjelp av leddet foran, kalles det en rekursiv sammenheng

Den rekursive formelen blir da:

$a_{n+1}=a_n+1$

Kvadrater

Kvadrattallene er:

1, 4, 9 , 16, 25, ..............

Rekken blir :

1+ 4+9+16+25+ .......

Å finne formelen for leddene her er ikke så lett som for de naturlige tallene, fordi verdien til leddene endrer seg med kvadratet av posisjonen.

Rekken kan skrives slik:

$1^2+2^2+3^2+4^2+..............+n^2$

Eksplisit formel blir:

$a_n=n^2$

Rekkusivformel:

$a_{n+1}=(\sqrt{a_n}+1{)}^2=a_n+2\sqrt{a_n}+1=a_n+2n+1$

Trekanter

Rekken

1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 +......

Representerer trekanttallene.

Eksplisit formel: $a_n=\frac{n(n+1)}{2}$ og rekursiv formel : $a_{n+1}=a_n+n+1$.

Rektangeler

Vi kan ha mange forskjellige. Her er en:

2 + 6 + 12 + 20 + .....

Det første rektangelet har lengde to og bredde en. Det andre lengde tre og bredde to, osv.

Eksplisit formel:

$a_n=(n+1)n=n^2+n$

Rekkusiv formel:

$a_{n+1}=a_n+2n$

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk følge er en tallfølge, $\{a_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ ($\mathbb{N}=\{1,2,3,...\}$), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; $a_{i+1}-a_i=d$.

Eksempel

Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at $a_{i+1}-a_i=2$. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. $a_1=3$. Følgen $\{a_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ er nå entydig bestemt siden formlene over gir at $a_2-a_1=a_2-3=2$. Dette gir at $a_2=2+3=5$. Videre er $a_3-a_2=a_3-5=2$, så $a_3=2+5=7$ osv.

Test deg selv

Aritmetisk rekke (sum)

En aritmetisk rekke er summen av leddene $a_i$ i en aritmetisk progresjon $\{a_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ med et endelig antall ledd $N$. Den $n$-te partialsummen(delsummen) er summen av de $n\le N$ første leddene i rekken og kan defineres ved at $S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i$. Siden $a_{i+1}=d+a_i$ for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av $n$ ledd:

$S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+...+(a_1+(n-1)d)=n{a}_1+\sum _{i=1}^n(i-1)d=n{a}_1+d\sum _{i=0}^{n-1}i=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

Merk at formelen kun avhenger av startverdien $a_1$ og den konstante differansen $d$.

Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved $S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=\frac{a_1+a_n}{2}n$. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt $\frac{a_1+a_n}{2}$. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på $\frac{a_1+a_n}{2}$, blir summen $\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n$.

Eksempel

La oss se på den endelige følgen $(a_i=i{)}_{i\in [1,10]}=\{1,2,\dots ,10\}$ Da blir summen $S=\sum _{i=1}^{10}i=\frac{1+10}{2}\cdot 10=55$

Geometrisk rekke

En geometrisk progresjon $(a_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ er en tallfølge der hvert tall er et konstant multippel av det forrige, dvs $\frac{a_{n+1}}{a_n}=k$.

Slike tallfølger kan skrives på formen $a_n=a_1{k}^{n-1}$

Test deg selv

Geometrisk rekke

En geometrisk rekke er summen av elementene i en geometrisk progresjon.

For geometriske rekker $a_n=a_1{k}^{n-1}$ er $S_n=\sum _{i=1}^n{a}_i=a_1\frac{k^n-1}{k-1}$

Bevis for summeformel

Betrakt tallet $(k-1)(1+k+k^2+k^3+\dots +k^n)$. Ganger vi ut parentesene, får vi $(k+k^2+k^3+\dots +k^{n+1})-(1+k+k^2+k^3+\dots +k^n)=k^{n+1}-1$. Men dersom

$(k-1)(1+k+k^2+\dots +k^n)=k^{n+1}-1$

kan vi dele med faktoren $(k-1)$ på begge sider og få

$\sum _{i=0}^n{k}^i=1+k+k^2+\dots +k^n=\frac{k^{n+1}-1}{k-1}$

Multipliserer vi så med $a_1$ på begge sider, vil vi oppnå summeformelen, og beviset er ferdig.

Uendelige geometriske rekker

Endelige rekker gir oss en verdi. Uendelige rekker kan enten gå mot en bestemt verdi, eller de kan gå mot uendelig. Dersom en rekke divergerer går summen mot uendelig. Dersom rekken konvergerer har den en endelig sum.

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1{k}^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. Det vil si at summen av uendelig mange etterfølgende elementer i følgen har en endelig verdi.

I slike tilfeller er $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sum _{i=1}^n{a}_i=\frac{a_1}{1-k}$

Noen (mer eller mindre) praktiske eksempler

Eksempel 100 (eksempeloppgave UDIR Høst 2022- R2)

En uendelig geometrisk rekke $b_1+b_2+b_3+...$konvergere mot 6.

Summen av de seks første leddene er $\frac{38}{9}$

Fra første settning drar vi følgende informasjon: $\frac{b_1}{1-k}=6$.

Fra andre settning har vi: $b_1\cdot \frac{1-k^6}{1-k}=\frac{38}{9}$

Vi har to likninger med to ukjente og kan sette inn uttrykket for $b_1$ i den første likningen inn i den andre likningen.

$6\cdot (1-k)\cdot \frac{1-k^6}{1-k}=\frac{38}{9}$

$-k^6=\frac{38}{9\cdot 6}-1=$

$k^6=1-\frac{19}{27}=\frac{8}{27}=(\frac{2}{3}{)}^3$