R2 2023 høst LØSNING

Oppgaven som PDF

Løsningsforslag fra Lektor Seland

Videoløsning del 1 av Lektor Lainz

Videoløsning del 2 av Lektor Lainz

Løsningsforslag laget av OpenMathBooks prosjektet

DEL 1

Oppgave 1

${\int }_{-1}^1(x^3+2x)dx$

$=[\frac{1}{4}{x}^4+x^2{]}_{-1}^1$

$=(\frac{1}{4}+1)-(\frac{1}{4}+1)=0$

Svaret forteller meg enten at arealet av området som er avgrenset av grafen, x-aksen og linjene x = −1 og x = 1 er lik 0, eller at det er et like stort område over og under x-aksen i dette intervallet. Det er det siste som er tilfellet her.

Oppgave 2

Den blå grafen er g(x)=sin x, fordi sin(0)=0. Den rød grafen er da f(x)=cos x, og den krysser y-aksen i y=1 fordi cos(0)=1.

Skjæringspunkt mellom f og g:

$sinx=cosx$

$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$

Skjæringspunktene mellom f og g i det fargelagte området:

$x=-\frac{3\pi }{4}$ og $x=\frac{\pi }{4}$

Areal av det fargelagte området:

${\int }_{-\frac{3\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}cosxdx-{\int }_{-\frac{3\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}}sinxdx$

$=(sin(\frac{\pi }{4})-sin(-\frac{3\pi }{4})-(-cos(\frac{\pi }{4})+cos(-\frac{3\pi }{4}))$

$=\frac{\sqrt{2}}{2}-(-\frac{\sqrt{2}}{2})-(-\frac{\sqrt{2}}{2}+(-\frac{\sqrt{2}}{2}))$

$=2\frac{\sqrt{2}}{2}+2\frac{\sqrt{2}}{2}=4\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$

Arealet av det fargelagte området vist på figuren er $2\sqrt{2}$.

Oppgave 3

a)

$S=\frac{a_1}{1-k}$

Siden rekken konverger mot 8 må k være $\frac{1}{2}$ :

$8=\frac{4}{1-k}\Rightarrow k=\frac{1}{2}$

$S_4=4+2+1+\frac{1}{2}=7,5$

b)

I en aritmetisk rekke øker leddene med en fast verdi d.

$a_1=a_4-3d$

$a_7=a_4+3d$

$a_1+a_4+a_7=114$

$a_4-3d+a_4+a_4+3d=114$

$3a_4=114$

$a_4=38$

Oppgave 4

a)

Vi har $\alpha :x-2y+2z+1=0$ og $A(4,2,2)$

${\overrightarrow{n}}_{\alpha }=[1,-2,2]$

$l=\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=2-2t\\ z=2+2t\end{array}$

b)

$d=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$, der $(x_0,y_0,z_0)$ er koordinatene til punkt A.

$=\frac{1\cdot 4-2\cdot 2+2\cdot 2+1}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}$

$=\frac{5}{\sqrt{9}}=\frac{5}{3}$

Asvtanden fra A til $\alpha$ er $\frac{5}{3}$

Oppgave 5

a)

Programmet regner ut arealet av flaten som er avgrenset av f(x), x- aksen, linjen x = -2 og linjen x = 2.

b)

$f(x)=x^2-1$

Funksjonen har nullpunkter for x=-1 og x= 1. Mellom disse ligger den under x aksen. Den er symmetrisk om y-aksen. Vi integrerer fra -2 til -1 og fra -1 til 0. Til slutt multipliserer vi med 2, for å finne hele arealet.

$A=2\cdot ({\int }_{-2}^{-1}(x^2-1)dx+|{\int }_{-1}^{-0}(x^2-1))dx|$

$=2\cdot ([\frac{1}{3}{x}^3-x{]}_{-2}^{-1}+|[\frac{1}{3}{x}^3-x{]}_{-1}^0)|$

$=2\cdot ((\frac{-1}{3}+1)-(\frac{-8}{3}+2)+|((0)-(\frac{-1}{3}+1)|$

$=2\cdot (\frac{4}{3}+\frac{2}{3})$

$=2\cdot \frac{6}{3}$

$=4$

Oppgave 6

Arealet av sideflaten BCGF er

$\frac{1}{2}|\overrightarrow{BF}\times \overrightarrow{BC}|+\frac{1}{2}|\overrightarrow{GF}\times \overrightarrow{GC}|$

Regner ut $\overrightarrow{BF}\times \overrightarrow{BC}$

$=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ -1& -1& 3\\ -4& 0& 0\end{array}\right|$

$=0\overrightarrow{i}-12\overrightarrow{j}-4\overrightarrow{k}$

$=[0,-12,-4]$

Regner ut $\overrightarrow{GF}\times \overrightarrow{GC}$

$=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{i}& \overrightarrow{j}& \overrightarrow{k}\\ 2& 0& 0\\ -1& 1& -3\end{array}\right|$

$=0\overrightarrow{i}+6\overrightarrow{j}+2\overrightarrow{k}$

$=[0,6,2]$

Arealet av sideflaten BCGF er

$\frac{1}{2}|\overrightarrow{BF}\times \overrightarrow{BC}|+\frac{1}{2}|\overrightarrow{GF}\times \overrightarrow{GC}|$

$\frac{1}{2}|[0,-12,-4]|+\frac{1}{2}|[0,6,2]|$

$=\frac{1}{2}\sqrt{0^2+{12}^2+4^2}+\frac{1}{2}\sqrt{0^2+6^2+2^2}$

$=\frac{1}{2}\sqrt{160}+\frac{1}{2}\sqrt{40}$

$=\frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{10}+\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{10}$

$=3\sqrt{10}$

DEL 2

Oppgave 2

a)

Bruker regresjonsanalyse i Geogebra og velger en sinusfunksjon som modell.

Modellen for vannstanden ved verftet er $f(x)=31sin(0,514x+0,19)+83,6$

b)

Bruker CAS i Geogebra. Den 25. april begynner 24 timer etter 24. april.

Ifølge modellen vil vannstanden øke raskest ca. 24,1t og 36,3t etter 24. april, altså like etter midnatt og like etter kl. 12 den 25. april.