1T 2025 høst LK20 LØSNING
Del 1
Oppgave 1
<math>x^2 + 4x - 5 < 0</math>
Vi løser likningen
<math>x^2 + 4x - 5 = 0</math>
Bruker abc-formelen: <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}</math>
Her er <math>a = 1,; b = 4,; c = -5</math>
<math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} </math> <math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} </math> <math> x = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{2} </math> <math> x = \frac{-4 \pm 6}{2} </math>
Dette gir løsningene: <math> x = 1 \quad \text{eller} \quad x = -5 </math>
Parabelen åpner oppover (fordi <math>a > 0</math>), så uttrykket er negativt mellom nullpunktene.
<math> -5 < x < 1 </math>
Oppgave 2
Bestem nullpunkta til funksjonen <math>f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12</math>
Steg 1: Finn en rasjonell rot
Vi tester hele tall som deler 12.
Tester <math>x = 1</math>: <math> f(1) = 1 - 5 - 8 + 12 = 0 </math>
Dermed er <math>x = 1</math> et nullpunkt.
Steg 2: Polynomdivisjon
Dividerer <math>f(x)</math> med <math>(x - 1)</math>:
<math> x^3 - 5x^2 - 8x + 12 = (x - 1)(x^2 - 4x - 12) </math>
Steg 3: Løs andregradslikningen
<math> x^2 - 4x - 12 = 0 </math>
Bruker abc-formelen:
<math> x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12)}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 48}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm \sqrt{64}}{2} </math> <math> x = \frac{4 \pm 8}{2} </math>
Dette gir: <math> x = 6 \quad \text{eller} \quad x = -2 </math>
Løsning
Nullpunktene til funksjonen er: <math> x = -2,; x = 1,; x = 6 </math>
Oppgave 3
En rasjonal funksjon er gitt ved <math>f(x) = \frac{2x + 6}{x^2 + 4}</math>
Vi vurderer hver påstand.
Påstand 1
Grafen til <math>f</math> har nøyaktig ett nullpunkt.
Nullpunkter finnes når telleren er lik null (og nevneren ikke er null):
<math> 2x + 6 = 0 </math> <math> x = -3 </math>
Sjekk nevneren: <math> x^2 + 4 = (-3)^2 + 4 = 13 \neq 0 </math>
Det finnes ett og bare ett nullpunkt.
Påstand 1 er riktig.
Påstand 2
Grafen til <math>f</math> har ingen vertikale asymptoter.
Vertikale asymptoter oppstår når nevneren er 0.
<math> x^2 + 4 = 0 </math> <math> x^2 = -4 </math>
Dette har ingen reelle løsninger, altså blir nevneren aldri 0.
Påstand 2 er riktig.
Påstand 3
Grafen til <math>f</math> skjærer aldri y-aksen.
Grafen skjærer y-aksen når <math>x = 0</math>:
<math> f(0) = \frac{2 \cdot 0 + 6}{0^2 + 4} = \frac{6}{4} = 1{,}5 </math>
Grafen skjærer y-aksen i punktet <math>(0, 1{,}5)</math>.
Påstand 3 er feil.
Påstand 4
Grafen til <math>f</math> har horisontal asymptote <math>y = 2</math>.
Graden i telleren er 1, graden i nevneren er 2. Når graden i telleren er lavere enn graden i nevneren, er den horisontale asymptoten:
<math> y = 0 </math>
Påstand 4 er feil.
Konklusjon
Riktige påstander er:
Påstand 1
Påstand 2
Oppgave 4
Oskar satte pengene i banken med 4,5 % rente per år i 5 år og har i dag <math>250,000</math> kroner.
Vi skal finne hvor mye han vant i Lotto (startbeløpet).
Steg 1: Renteformel
Ved renters rente gjelder: <math> \text{sluttverdi} = \text{startverdi} \cdot (1 + r)^n </math>
Her er:
<math>r = 0{,}045</math>
<math>n = 5</math>
<math> 250\,000 = \text{startverdi} \cdot 1{,}045^5 </math>
Steg 2: Løs for startverdi
<math> \text{startverdi} = \frac{250,000}{1{,}045^5} </math>
Steg 3: Sammenlign med uttrykkene
Riktig uttrykk er: <math> \frac{250,000}{1{,}045^5} </math>
Dette tilsvarer uttrykk 2.
Siden: <math> \frac{1}{1{,}045^5} = 1{,}045^{-5} </math>
kan vi også bruke: <math> 250,000 \cdot 1{,}045^{-5} </math>
Dette tilsvarer uttrykk 6.
Løsning
Riktige uttrykk er:
2
6
Oppgave 5
a) Vis at <math>\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}</math>
Vi bruker den gitte rettvinklede trekanten.
De to katetene har lengde: <math> 1 \quad \text{og} \quad 1 </math>
Steg 1: Finn hypotenusen
Ved Pytagoras’ setning: <math> h^2 = 1^2 + 1^2 = 2 </math>
<math> h = \sqrt{2} </math>
Steg 2: Bruk definisjonen av sinus
For vinkelen <math>45^\circ</math> gjelder: <math> \sin 45^\circ = \frac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}} </math>
Her er: <math> \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} </math>
Dette var det som skulle vises.
b) Bestem arealet av trekanten <math>ABC</math>
Gitt:
<math>AB = 3\sqrt{2}</math>
<math>AC = 8</math>
<math>\angle A = 45^\circ</math>
Steg 1: Arealformel med to sider og inkludert vinkel
Arealet av en trekant kan skrives som: <math> A = \frac{1}{2}ab\sin C </math>
Her får vi: <math> A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A </math>
Steg 2: Sett inn verdier
<math> A = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 45^\circ </math>
Fra del a) vet vi: <math> \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} </math>
<math> A = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} </math> <math> A = \frac{1}{2} \cdot 24 </math> <math> A = 12 </math>
Arealet av trekanten <math>ABC</math> er
<math> 12 </math>
c) Hvilken trekant har størst areal?
Vi sammenligner trekantene <math>ABC</math> og <math>PQR</math>.
Arealet av trekant <math>ABC</math>
Fra del b): <math> A_{ABC} = 12 </math>
Arealet av trekant <math>PQR</math>
Gitt:
<math>PQ = 3\sqrt{2}</math>
<math>PR = 8</math>
<math>\angle P = 140^\circ</math>
Bruker samme arealformel: <math> A = \frac{1}{2}ab\sin C </math>
<math> A_{PQR} = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot 8 \cdot \sin 140^\circ </math>
Steg 1: Bruk sinusidentitet
<math> \sin 140^\circ = \sin (180^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ </math>
<math> \sin 40^\circ \approx 0{,}64 </math>
Steg 2: Regn ut arealet
<math> A_{PQR} \approx \frac{1}{2} \cdot 24\sqrt{2} \cdot 0{,}64 </math>
<math> A_{PQR} \approx 7{,}68\sqrt{2} </math> <math> A_{PQR} \approx 10{,}9 </math>
Konklusjon
<math> A_{ABC} = 12 \quad \text{og} \quad A_{PQR} \approx 10{,}9 </math>
Siden: <math> 12 > 10{,}9 </math>
har trekanten <math>ABC</math> størst areal.