Irrasjonale likninger
Irrasjonale ligninger
Innledning
Dersom den ukjente i en ligning befinner seg under ett eller flere rottegn, sies ligningen å være irrasjonal.
Man må være fortrolig med bruk av kvadratsetningene og løsning av 2.gradsligninger før man arbeider med slike ligninger.
Falsk løsning
Irrasjonale ligninger løses vanligvis ved å kvadrere på begge sider av likhetstegnet.
Dette kan generere falske løsninger.
Du må derfor alltid sette prøve på svaret.
<math> x = -2 \\ x^2 = (-2)^2 \\ x^2 = 4 </math>
Løser man <math>x^2 = 4</math>, får man både <math>x = -2</math> og <math>x = 2</math>. Kvadreringen genererer altså en falsk løsning.
Eksempel 1
Før man kvadrerer skal rottegnet (og uttrykket under) stå alene på én side.
<math> \sqrt{x-2} = 4 \\ (\sqrt{x-2})^2 = 4^2 \\ x - 2 = 16 \\ x = 18 </math>
Ved å sette prøve ser vi at <math>x = 18</math> er en løsning.
Eksempel 2
<math> \sqrt{x-2} = 3 - \sqrt{x+3} \\ \sqrt{x-2} + \sqrt{x+3} = 3 \\ (\sqrt{x-2} + \sqrt{x+3})^2 = 9 \\ x - 2 + 2\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} + x + 3 = 9 \\ 2x + 1 + 2\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 9 \\ 2\sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 8 - 2x \\ \sqrt{x-2}\sqrt{x+3} = 4 - x \\ (\sqrt{x-2}\sqrt{x+3})^2 = (4-x)^2 \\ 9x = 22 \\ x = \frac{22}{9} </math>
Setter vi prøve, får vi lik verdi på begge sider. Dermed er <math>x = \frac{22}{9}</math> en løsning.
Eksempel 3
<math> x - \sqrt{3x+7} + 1 = 0 \\ (-\sqrt{3x+7})^2 = (-x - 1)^2 \\ 3x + 7 = x^2 + 2x + 1 \\ x^2 - x - 6 = 0 \\ x = -2 \vee x = 3 </math>
Setter vi prøve, ser vi at <math>x = -2</math> ikke er løsning.
Løsningen er derfor:
<math>x = 3</math>
Eksempel 4
<math> \sqrt{2x + 10 + \sqrt{x+3}} = 5 \\ 2x + 10 + \sqrt{x+3} = 25 \\ \sqrt{x+3} = 15 - 2x \\ x + 3 = 225 - 60x + 4x^2 \\ 4x^2 - 61x + 222 = 0 \\ x = 6 \vee x = 9,25 </math>
Setter vi prøve, ser vi at kun <math>x = 6</math> er en løsning.