R2 2013 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Matteprat: Diskusjon omkring denne oppgaven

DEL EN

Oppgave 1

a) $f(x)=5x\cos x$

Produktregelen for derivasjon gir at

$f^{\prime }(x)=5\cos x+5x(-sinx)=5\cos x-5x\sin x=5(cosx-x\sin x)$

b) $g(x)=\frac{sin(2x)}{x}$

Brøkregelen for derivasjon gir at

$g^{\prime }(x)=\frac{2\cos (2x)\cdot x-sin(2x)\cdot 1}{x^2}=\frac{2xcos(2x)-sin(2x)}{x^2}$

Oppgave 2

a) ${\int }_0^{1}2e^{2x}\mathrm{d}x=2{\int }_0^1{e}^{2x}\mathrm{d}x=2{\left[\frac{1}{2}{e}^{2x}\right]}_0^1=\frac{2}{2}{\left[e^{2x}\right]}_0^1=e^{2\cdot 1}-e^{2\cdot 0}=e^2-e^0=e^2-1$

b) $\int 2x\cdot e^x\mathrm{d}x$

La $u=2x$ og $v^{\prime }=e^x$

Delvis integrasjon gir da at

$\begin{array}{rl}\int 2x\cdot e^x\mathrm{d}x& =2x\cdot e^x-\int 2e^x\mathrm{d}x+C\\ & =2x{e}^x-2\int e^x\mathrm{d}x+C\\ & =2x{e}^x-2e^x+C\\ & =2e^x(x-1)+C\end{array}$

Oppgave 3

a) $\overrightarrow{AB}=[-2,3,0]$ og $\overrightarrow{AC}=[-2,0,4]$

Da blir $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=(-2)\cdot (-2)+3\cdot 0+0\cdot 4=4$

og $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=[3\cdot 4-0\cdot 0,-((-2)\cdot 4-0\cdot (-2)),(-2)\cdot 0-3\cdot (-2)]=[12,8,6]$

b)

$\begin{array}{rl}V& =|\frac{1}{6}(\overrightarrow{AB}\times AC)\cdot \overrightarrow{AO}|\\ {\displaystyle }& =|\frac{1}{6}[12,8,6]\cdot [-2,0,0]|\\ {\displaystyle }& =|\frac{1}{6}(12(-2)+8\cdot 0+6\cdot 0)|\\ {\displaystyle }& =|\frac{1}{6}(-24)\\ {\displaystyle }& =|-\frac{24}{6}|\\ {\displaystyle }& =|-4|\\ {\displaystyle }& =4\end{array}$

Eventuelt kan man regne ut volumet ved hjelp av formelen for volum av pyramide, $V=\frac{G\cdot h}{3}$,

hvor $G=\frac{|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB|}}{2}=\frac{2\cdot 3}{2}=3$ og $h=|\overrightarrow{OC}|=4$.

Da får man $V=\frac{3\cdot 4}{3}=4$

c) Om man bruker punktet $A(2,0,0)$ og normalvektoren $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=[12,8,6]$ blir likningen for planet $\alpha$:

$\begin{array}{rl}12(x-2)+8(y-0)+6(z-0)& =0\\ 12x-24+8y+6z& =0\\ 12x+8y+6z& =24\\ \frac{12x}{24}+\frac{8y}{24}+\frac{6z}{24}& =\frac{24}{24}\\ \frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{4}& =1\end{array}$

Hvilket skulle vises.

Oppgave 4

a) Rekken er geometrisk fordi neste ledd i rekken genereres ved å multiplisere det forrige leddet med en fast kvotient $k=e^{-1}=\frac{1}{e}$. Ettersom $\frac{1}{e}<1$, er altså $|k|<1$, hvilket gjør rekken konvergent.

$S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{1}{1-\frac{1}{e}}=\frac{1}{\frac{e}{e}-\frac{1}{e}}=\frac{1}{\frac{e-1}{e}}=\frac{e}{e-1}$

b) I dette tilfellet er $k=e^{-x}$, og rekken er konvergent dersom $|k|<1$.

$|e^{-x}|<1$

Ettersom $e^{-x}$ alltid vil være positivt, kan man skrive om likningen til

$\begin{array}{rl}{e}^{-x}& <1\\ \ln (e^{-x})& <\ln 1\\ (-x)\cdot \ln (e)& <0\\ -x& <0\\ x& >0\end{array}$

$S=\frac{a_0}{1-k}=\frac{1}{1-e^{-x}}=\frac{1}{1-\frac{1}{e^x}}=\frac{1}{\frac{e^x}{e^x}-\frac{1}{e^x}}=\frac{1}{\frac{e^x-1}{e^x}}=\frac{e^x}{e^x-1}$

Oppgave 5

$N^{\prime }(t)=4t+3$ og $N(0)=800$

$N(t)=\int (4t+3)dx=2t^2+3t+C$

$\begin{array}{rl}N(0)& =800\\ 2\cdot 0^2+3\cdot 0+C& =800\\ 0+0+C& =800\\ C& =800\end{array}$ $C=800\Rightarrow N(t)=2t^2+3t+800$

$N(10)=2\cdot {10}^2+3\cdot 10+800=200+30+800=1030$

Det var altså 1030 individer i populasjonen etter 10 timer.

Oppgave 6

$f(x)=\frac{1}{2}{x}^4-2x^3+\frac{5}{2}x$

a) $f^{\prime }(x)=2x^3-6x^2+\frac{5}{2}$

$f^{″}(x)=6x^2-12x=6x(x-2)$

Vendepunkter:

$V{p}_1:(0,f(0))=(0,\frac{1}{2}\cdot 0^4-2\cdot 0^3+\frac{5}{2}\cdot 0)=(0,0)$

$V{p}_2:(2,f(2))=(2,\frac{1}{2}\cdot 2^4-2\cdot 2^3+\frac{5}{2}\cdot 2)=(2,-3)$

b) $V{t}_1-0=f^{\prime }(0)\cdot (x-0)\Rightarrow V{t}_1=(2\cdot 0^3-6\cdot 0^2+\frac{5}{2})x\Rightarrow V{t}_1=\frac{5}{2}x$

$$\begin{gathered} V{t}_2-(-3)=f^{\prime }(2)\cdot (x-2) \\ \Rightarrow V{t}_2+3=(2\cdot 2^3-6\cdot 2^2+\frac{5}{2})(x-2) \\ \Rightarrow V{t}_2+3=-\frac{11}{2}(x-2) \\ \Rightarrow V{t}_2+3=-\frac{11}{2}x+11 \\ \Rightarrow V{t}_2=-\frac{11}{2}x+8 \end{gathered}$$

Oppgave 7

La $V(n)=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{n\cdot (n+1)}$ og $H(n)=\frac{n}{n+1}$

$V(1)=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}$ og $H(1)=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

$V(1)=H(1)\Rightarrow$ Påstanden er bevist for $n=1$

$$\begin{gathered} V(k+1)=\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+...+\frac{1}{k\cdot (k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ =H(k)+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{{(k+1)}^2}{(k+1)(k+2)} \\ =\frac{k+1}{k+2} \end{gathered}$$

og

$H(k+1)=\frac{k+1}{(k+1)+1}=\frac{k+1}{k+2}$

$V(k+1)=H(k+1)\Rightarrow$ Påstanden er bevist for alle heltall $n\ge 0$.

Hvilket skulle bevises.

DEL TO

Oppgave 1

a) $F(v)=\frac{2+2\cos v}{2}\cdot \sin v=\frac{2(1+\cos v)}{2}\cdot \sin v=(1+\cos v)\sin v$

Hvilket skulle vises.

Om $v\ge \frac{\pi }{2}$ mister trapeset sin øverste side, og blir derfor til en trekant.

Om $v\le 0$ er vinkelen negativ, og trapeset vil ikke lenger være innskrevet i halvsirkelen.

$v\in <0,\frac{\pi }{2}>$

b) $F(v)=(1+\cos v)\sin v$

Produktregelen for derivasjon gir at

$\begin{array}{rl}{F}^{\prime }(v)& =(-\sin v)\sin v+(1+\cos v)\cos v\\ & ={\cos }^{2}v+\cos v-{\sin }^{2}v\\ & ={\cos }^{2}v+\cos v-(1-{\cos }^{2}v)\\ & =2{\cos }^{2}v+\cos v-1\end{array}$

$\cos v=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 2(-1)}}{2\cdot 2}=\frac{-1\pm 3}{4}$

$\cos v_1=\frac{1}{2}$ og $\cos v_2=-1$

$\Rightarrow F^{\prime }(v)=2(\cos v-\frac{1}{2})(\cos v+1)$

$v=\frac{\pi }{3}$ og $F_{maks}(v)=F\left(\frac{\pi }{3}\right)=(1+\cos \frac{\pi }{3})\sin \frac{\pi }{3}=(1+\frac{1}{2})\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$

Oppgave 2

a)

b) Fra tegningen kan man se at grafens utseende i intervallet $x\in [0,2]$ gjentar seg i intervallet $x\in [2,4]$ og $[4,6]$. Altså er det et intervall som gjentas langs $x$-aksen, hvilket betyr at grafen er periodisk.

$p=2$

c)

$\begin{array}{rl}f(x)& =\sin \left(\pi x\right)+\sin \left(2\pi x\right)\\ & =\sin \left(\pi x\right)+\sin (\pi x+\pi x)\\ & =\sin \left(\pi x\right)+(\sin \left(\pi x\right)\cos \left(\pi x\right)+\cos \left(\pi x\right)\sin \left(\pi x\right))\\ & =\sin \left(\pi x\right)+2\sin \left(\pi x\right)\cos \left(\pi x\right)\\ & =\sin \left(\pi x\right)(1+2\cos (\pi x))\end{array}$

Hvilket skulle vises.

d)

$\begin{array}{rl}f(x)& =0\\ \sin \left(\pi x\right)(1+2\cos (\pi x))& =0\\ \sin \left(\pi x\right)& =0\vee 1+2\cos (\pi x)=0\\ \pi x& =0+\pi n\vee \cos \left(\pi x\right)=-\frac{1}{2}\\ x& =n\vee \pi x=\frac{2\pi }{3}+2\pi n\vee \pi x=2-\frac{2\pi }{3}+2n\\ x& =n\vee x=\frac{2}{3}+2n\vee x=\frac{4}{3}+2n\end{array}$

$x\in [0,2]\Rightarrow \begin{array}{rl}{x}_1& =0\\ x_2& =\frac{2}{3}\\ x_3& =1\\ x_4& =\frac{4}{3}\\ x_5& =2\end{array}$

Nullpunkter: $(0,0)$, $(\frac{2}{3},0)$, $(1,0)$, $(\frac{4}{3},0)$ og $(2,0)$