Logaritme- og eksponential-likninger
Innledning
For å løse logaritmelikningene i 1T kurset må du kunne litt om logaritmer. Nedenfor finner du de du må beherske. Dersom du ønsker å vite mer finner du det i R1 kurset under logaritmer.
Logaritmen til et tall x med basis b er definert som den inverse funksjonen til <tex>b^x</tex> (b opphøyd i x). En logaritme kan ha forskjellige basiser eller grunntall (større enn null og ikke lik en). Det vanligste grunntallet for en logaritme er 10 og betegnelsen er log eller lg.(Den naturlige logaritmen ln har grunntall e og behandles separat.) Dersom andre grunntall brukes er det spesifisert, for eksempel dersom grunntallet er 2 skrives det slik: <tex>log_2 x</tex>.
Logaritmer av forskjellige basiser er relatert ved at
- <tex>\log_na=\frac{\log_ma}{\log_mn}</tex>
Logaritmer med grunntall 10 kalles den briggske logaritmen , etter matematikeren Henry Briggs. Vi har følgende definisjon:
<tex>10^{log a} = a </tex>
<tex>log 1000 = 3\qquad \text{fordi} \qquad 10^3 = 1000 </tex>
<tex>log 1 = 0 \qquad \text{fordi} \qquad 10^0 = 1 </tex>
<tex>log 0,01 = -2 \qquad \text{fordi} \qquad 10^{-2} = 0,01 </tex>
Man kan ikke ta logaritmen til et negativt tall.
Logaritmen av en potens
<tex> log a^x = x \cdot log a </tex>
<tex> log 100^{24} = 24 \cdot log 100 =24 \cdot 2 = 48 </tex>
Eksponential-likninger
Så langt har vi befattet oss med ligninger der den ukjente er grunntallet. Dersom den ukjente er i eksponenten får vi ligninger av typen:
<tex>m \cdot a^x = n</tex>
der a, m og n er tall.
Ligningen løses på følgende måte:
<tex> a^x = \frac nm</tex>
<tex> log(a^x) = log(\frac nm)</tex>
<tex> x \cdot loga = log(\frac nm)</tex>
<tex> x = \frac{log(\frac nm)}{log a}</tex>
Eksempel
<tex>0,23 \cdot 3^x = 5</tex>
<tex> 3^x = \frac {5}{0,23} </tex>
<tex> log(3^x) = log(\frac {5}{0,23}) </tex>
<tex> x \cdot log3 = log 21,74</tex>
<tex> x = \frac{log 21,74}{log 3}</tex>
<tex> x = \frac{1,34}{0,48}</tex>
<tex> x = 2,79</tex>
Eksempel
Du setter 5000 kroner i banken og får 4 prosent renter per år. Hvor mange år må pengene stå i banken før du har 25000 kroner?
<tex> 25000 = 5000 \cdot 1,04^x </tex>
<tex> 1,04^x = \frac{25000}{5000}</tex>
<tex> 1,04^x = 5</tex>
<tex> log(1,04^x) = log 5</tex>
<tex> x \cdot log 1,04 = log 5</tex>
<tex> x = \frac {log 5}{log 1,04}</tex>
<tex> x = 41</tex>
Det tar 41 år før 5000 kroner vokser til 25000 kroner med 4 prosent renter.
Eksempel
Kari har 20000 kroner. Per har 40000 kroner. Kari setter sine penger i banken og får en rente på 3,5 prosent per år. Per kjøper en bil til 40000 for sine penger. Den taper seg i verdi med 9 prosent per år. Når har Karis sparepenger den samme verdi som Pers bil?
<tex> 20000 \cdot 1,035^x = 40000 \cdot 0,91^x </tex>
<tex> \frac {1,035^x}{ 0,91^x}= \frac{40000}{20000}</tex>
<tex> (\frac {1,035}{ 0,91})^x= 2 </tex>
<tex> x log(\frac {1,035}{ 0,91})= log 2 </tex>
<tex> x= \frac { log 2}{ log (\frac {1,035}{ 0,91}) } </tex>
<tex> x= 5,4 </tex>
Det tar ca fem og et halvt år før veriden av Karis formue har samme verdi som Pers bil.
Logaritme-likninger
<tex>log x = a </tex>
<tex>x = 10^a </tex>
Eksempel:
<tex>5 \cdot log x = 10 </tex>
<tex>x = 10^2 </tex>
<tex>x = 100 </tex>
Eksempel:
<tex>log (x^2 - 21) = 2 </tex>
<tex>x^2 - 21 = 100 </tex>
<tex>x = \pm 11 </tex>