Vektorer i rommet

En vektor er det samme som et koordinat, vi tenker oss en pil fra origo til et punkt med koordinat (x,y) i det euklidske planet eller (x,y,z) i rommet $R^{3}$ . Det fins en rekke måter å skrive vektorer på, f.eks. er det vanlig å bruke $\vec{r} = (x, y, z)$ , $\vec{r} = ⟨ x, y, z ⟩$ eller $\vec{r} = [x, y, z]$ . Vi kan også innføre enhetsvektorer langs de tre aksene og skrive vektorene ved hjelp av disse. Da er $\vec{r} = x \vec{e_{x}} + y \vec{e_{y}} + z \vec{e_{z}}$ der $\vec{e_{i}}$ er enhetsvektor langs aksen $i \in [x, y, z]$ . Her holder vi oss for enkelhets skyld til den første konvensjonen.

En vektor i rommet er en generalisering av en vektor i planet der vi har innført én ny koordinat. Mye av teorien for vektorer i planet vil utvides på naturlig måte til vektorer i rommet. F.eks. er definisjonen av lengde, sum, skalarmultiplikasjon og skalarprodukt (prikkprodukt) av 3-dimensjonale vektorer analog med det 2-dimensjonale tilfellet:

Lengden av en vektor i rommet

Lengden av en 3-dimensjonal vektor er angitt med absoluttverditegn. Dersom $\vec{v} = (x, y, z)$ er lengden definert som

| \vec{v} | = \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}

Vektorsum

Addisjon av vektorer foregår på samme måte som i planet, dvs. komponentvis. Vi har at

\vec{v} + \vec{v^{'}} = (x, y, z) + (x^{'}, y^{'}, z^{'}) = (x + x^{'}, y + y^{'}, z + z^{'})

Multiplikasjon med skalar

Vi kan multiplisere en vektor med en skalar på samme måte som i planet:

k (x, y, z) = (k x, k y, k z)

der

k

er en skalar.

Da ser vi at

| k \vec{v} | = | (k x, k y, k z) | = \sqrt{(k x)^{2} + (k y)^{2} + (k z)^{2}} = \sqrt{k^{2} (x^{2} + y^{2} + z^{2})} = | k | \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} = | k | | \vec{v} |

Denne formelen kan anvendes for å forenkle utregninger gjennom å faktorisere ut felles faktorer i vektoren vi skal finne lengden av.

Skalarprodukt

La $\vec{v_{1}} = (x_{1}, y_{1}, z_{1})$ og $\vec{v_{2}} = (x_{2}, y_{2}, z_{2})$ . Da er skalarproduktet definert som

\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} + z_{1} z_{2}

Dette er ekvivalent med

\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = | \vec{v_{1}} | | \vec{v_{2}} | \cdot \cos (θ)

der

θ

er vinkelen mellom vektorene.

Merk at definisjonen medfører at skalarproduktet er kommutativt, dvs. at $\vec{v_{1}} \cdot \vec{v_{2}} = \vec{v_{2}} \cdot \vec{v_{1}}$

En viktig observasjon er at dersom vi tar skalarproduktet med vektoren selv, får vi

\vec{v} \cdot \vec{v} = x^{2} + y^{2} + z^{2} = | \vec{v} |^{2}

.

Her ser vi at dette stemmer overens med den andre definisjonen av skalarproduktet i og med at vinkelen mellom to like vektorer er $θ = 0$ , og da er $\cos (θ) = \cos (0) = 1$ .

Normalisering

Vi normaliserer en vektor ved å dele den med lengden av seg selv. Lar vi f.eks. $\vec{v} = (x, y, z)$ og deler med lengden får vi

\frac{1}{| \vec{v} |} \vec{v} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}} (x, y, z)

.

Vi ser da at $| \frac{1}{| \vec{v} |} \vec{v} | = 1$ .

Enhetsvektorer

En enhetsvektor i rommet er essensielt et koordinat på enhetssfæren (dvs. overflaten av ei kule med radius=1 og sentrum i origo).

Dekomposisjon av romlige vektorer

Vi kan finne komponenten av en vektor i en gitt retning ved å ta skalarproduktet av vektoren og enhetsvektoren langs den ønskelige retningen.

Trekantulikheten

Trekantulikheten sier at for vektorer $\vec{u}$ og $\vec{v}$ gjelder alltid

| \vec{u} + \vec{v} | \leq | \vec{u} | + \vec{v} |

Denne er ofte nyttig til å vise mer kompliserte ulikheter. Likhet oppnås dersom enten en av vektorene er 0-vektor eller dersom vektorene har samme retning. Det kan være lurt å tegne opp noen vektorer for å illustrere prinsippet. Da ser man geometrisk at ulikheten faktisk stemmer.

Vektorrom (avansert, noe utover R2 pensum)

I en mer generell kontekst er de euklidske vektorene et spesialtilfelle av et vektorrom over en kropp (en kropp er f.eks. $R$ eller $C$ ). Et vektorrom $V$ over $F$ er en mengde av elementer (vektorer) som tilfredsstiller et sett aksiomer. For alle $r, s \in F$ og alle $u$ , $v$ og $w$ i $V$ gjelder:

1. Det fins en additiv identitet, $0$ : $u + 0 = u$

2. Det fins en multiplikativ identitet, $1$ : $1 u = u$

3. Vektorrommet er lukket under skalarmultiplikasjon, i.e. $r u$ er med i $V$ og $r (s u) = (r s) u$ .

4. Vektorrommet er lukket under addisjon, i.e. $u + v$ er med i $V$

5. Vektorrommet assosiativt, i.e. $(u + v) + w = u + (v + w)$

6. Vektorrommet er distributivt, i.e. $r (u + v) = r u + r v$

7. $(r + s) u = r u + s u$

8. Vektorrommet er kommutativt, i.e. $u + v = v + u$

9. For alle $u$ fins en $w$ slik at $u + w = 0$

Tilbake til R2 Hovedside