R1 2019 høst LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag del 2 fra Kristian Saug

Løsningsforslag (pdf) fra joes

Løsningsforslag fra Svein Arneson

DEL EN

a)

$$\begin{gathered} f(x)=x^4-2x+ln(x) \\ {f}^{\prime }(x)=4x^3-2+\frac{1}{x} \end{gathered}$$

b)

$$\begin{gathered} g(x)=x^7{e}^x \\ {g}^{\prime }(x)=7x^6{e}^x+x^7{e}^x=e^x{x}^6(7+x) \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} h(x)=\frac{ln(2x)}{x^2} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{2x}\cdot 2\cdot x^2-2\cdot x\cdot ln(2x)}{x^4} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{1-2ln(2x)}{x^3} \end{gathered}$$

Oppgave 2

$$\begin{gathered} 4(ln(a\cdot b^3))-3(ln(a\cdot b^2))-ln(\frac{a}{b}) \\ 4ln(a)+12ln(b)-3ln(a)-6ln(b)-ln(a)+ln(b)=7ln(b) \end{gathered}$$

a)

Dersom P(x) skal deles på (x-2) og gå opp. må P(x) = 0, dvs. P(2) = 0

$$\begin{gathered} P(2)=0 \\ {2}^3+6\cdot 2^2+k\cdot 2-30=0 \\ 8+24+2k-30=0 \\ k=-1 \end{gathered}$$

b)

Bruker så ABC formel på svaret og får:

$$\begin{gathered} x^2+8x+15=0 \\ x=\frac{-8\pm \sqrt{64-4\cdot 1\cdot 15}}{2} \\ x=\frac{-8\pm 2}{2} \\ x=-5\vee x=-3 \end{gathered}$$

Faktorisert form: $x^3+6x^2-x-30=(x-2)(x+3)(x+5)$

Oppgave 4

a)

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=[(2-(-2),-1-1]=[4,-2] \\ \overrightarrow{BC}=[(4-2,2-(-1)]=[2,3] \end{gathered}$$

b)

$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}=[4,-2]\cdot [2,3]=4\cdot 2+(-2)\cdot 3=8-6=2\ne 0$

To vektorer som er normale på hverandre har skalarprodukt lik null. Disse står ikke 90 grader på hverandre.

c)

$\overrightarrow{AD}=[t+2,2]$

Bruker skalarprodukt igjen:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AD}=0 \\ [4,-2]\cdot [t+2,2]=0 \\ 4t+8-4=0 \\ t=-1 \end{gathered}$$

d)

Et parallellogram er en firkant der to sider er parallelle. Det kan her skje på to måter:

$\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{CD}$

eller

$\overrightarrow{BC}\parallel \overrightarrow{DA}$

Vi sjekker begge mulighetene.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{CD} \\ \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{CD} \\ [4,-2]=k[t-4,1] \\ 4=kt-4k\wedge -2=k \\ t=2 \end{gathered}$$

t = 2 gir ett parallellogram.

$$\begin{gathered} \overrightarrow{BC}\parallel \overrightarrow{DA} \\ \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{DA} \\ [2,3]=k[t-4,1] \\ 4=kt-4k\wedge -2=k \\ t=2 \end{gathered}$$

Oppgave 5

a)

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{7}{3})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 1}\cdot \frac{5\cdot 4}{2\cdot 1}=35\cdot 10=350$

Det er mulig å sette sammen 350 komiteer.

b)

P(Anne og Jens)$=\frac{3}{7}\cdot \frac{2}{5}=\frac{6}{35}$

Sannsynligheten for at både Anne og Jens blir med i komiteen er $\frac{6}{35}$

c)

P(Anne eller Jens) = P(Anne men ikke jens) + P(Jens men ikke Anne)

$$\begin{gathered} =\frac{3}{7}\cdot \frac{3}{5}+\frac{4}{7}\cdot \frac{2}{5} \\ =\frac{9}{35}+\frac{8}{35}=\frac{17}{35} \end{gathered}$$

Sannsynligheten for at én av dem blir med i komiteen er $\frac{17}{35}$

Oppgave 6

a)

Diagonal i rektangelet er alltid 2. Arealet er alltid $A=x\cdot \sqrt{4-x^2}$. Brukte pytagoras for å finne lengden av OC.

Areal av skravert område blir da

$A_{skravert}=\frac{1}{4}\pi \cdot 2^2-x\cdot \sqrt{4-x^2}=\pi -x\sqrt{4-x^2}$

b)

Deriverer F(x) og finner maksimumspunktet:

$$\begin{gathered} F^{\prime }(x)= \\ (\pi -x\sqrt{4-x^2}{)}^{\prime }= \\ -(1\cdot \sqrt{4-x^2}+x\cdot (-2x)\frac{1}{2}(4-x^2{)}^{-\frac{1}{2}})= \\ -(\sqrt{4-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}})= \\ -(\frac{(\sqrt{4-x^2})(\sqrt{4-x^2})}{(\sqrt{4-x^2})}-\frac{x^2}{\sqrt{4-x^2}})= \\ -\frac{4-2x^2}{\sqrt{4-x^2}}= \\ \frac{2(x-\sqrt{2}(x+\sqrt{2})}{\sqrt{4-x^2}} \end{gathered}$$

Av uttrykket ser vi at $x=\sqrt{2}$ gir den deriverte lik null. Dette stemmer også med hva vi vet om største areal av en rektangulær firkant med gitt omkrets, den hvite firkanten vil være et kvadrat.

a)

CB er like lang som EB fordi begge linjestykker tangerer samme sirkelsektor ( i C og E).

b)

Begge trekantene har en felles vinkel i A. Begge trekanten har en vinkel på 90 grader (i C og E). Trekantene er derfor formlike.

Bruker formlikhet:

$$\begin{gathered} \frac{c-a}{r}=\frac{b}{c} \\ r=\frac{a(c-a)}{b} \end{gathered}$$

c)

Trekanten ABC har areal: $A=\frac{a\cdot b}{2}$

Fra figuren ser vi at trekantene CDB og ADB utgjør trekanten ABC

Areal CDB: $\frac{r\cdot a}{2}$

Areal: ADB: $\frac{c\cdot r}{2}$

Kombinerer:

$$\begin{gathered} \frac{r\cdot a}{2}+\frac{c\cdot r}{2}=\frac{a\cdot b}{2} \\ ra+rc=ab \\ r(a+c)=ab \end{gathered}$$

d)

$$\begin{gathered} a\cdot b=(a+c)\cdot r \\ ab=(a+c)\cdot \frac{a(c+a)}{b} \\ a{b}^2=(a^2+ac)(c-a) \\ a{b}^2=a^{2}c-a^3+a{c}^2-a^{2}c \\ a{b}^2=-a^3+a{c}^2 \\ {a}^2+b^2=c^2 \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

Ballene er i luften i henholdsvis 5,8 og 5 sekunder.

b)

Oppgave 4

a)

Skriver inn funksjonen f, og punktene P og Q. Bruker linjefunksjonen og får et uttrykk for linjen gjennom P og Q. Setter denne linjen lik f og får x koordinatene til R og Q

b)

Her viser vi at stigningstallene til tangentene multiplisert blir -1- Da står linjene normalt på hverandre. Du kan også bruke skalarprodukt.