S2 2019 høst LØSNING

oppgaven som pdf

diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag til del 2 laget av mattepratbruker Krisian Saug

Løsningsforslag del 1 og del 2 laget av Svein Arneson

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=\frac{1}{2}\ln x$

$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2x}$

b)

$g(x)=3x\cdot e^{2x}$

$$\begin{gathered} g^{\prime }(x)=3\cdot e^{2x}+3x\cdot 2\cdot e^{2x} \\ {g}^{\prime }(x)=3e^{2x}(2x+1) \end{gathered}$$

c)

$h(x)=\frac{x^2+1}{x-3}$

$$\begin{gathered} h^{\prime }(x)=\frac{2x\cdot (x-3)-(x^2+1)\cdot 1}{(x-3{)}^2} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{2x^2-6x-x^2-1}{x^2-6x+9} \\ {h}^{\prime }(x)=\frac{x^2-6x-1}{x^2-6x+9} \end{gathered}$$

Oppgave 2

a)

$$\begin{gathered} a_n=a_1+(n-1)\cdot d \\ {a}_4=a_1+(4-1)\cdot d \\ 7=-8+3d \\ 3d=15 \\ d=5 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} a_n=-8+(n-1)\cdot 5 \\ {a}_n=-8+5n-5 \\ {a}_n=5n-13 \end{gathered}$$

b)

$a_{40}=5\cdot 40-13=200-13=187$

$$\begin{gathered} S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n \\ {S}_{40}=\frac{-8+187}{2}\cdot 40 \\ {S}_{40}=179\cdot 20 \\ {S}_{40}=3580 \end{gathered}$$

Oppgave 3

a)

$a_n=a_1\cdot k^{n-1}$

For denne rekka har vi:

$a_n=6\cdot (-\frac{1}{2}{)}^{n-1}$

Dersom $-1<k<1$ i en geometrisk tallfølge $a_n=a_1{k}^{n-1}$ sier vi at den konvergerer. I dette tilfelle er $k=-\frac{1}{2}$, så rekken konvergerer.

I slike tilfeller er summen $S=\frac{a_1}{1-k}$.

$S=\frac{6}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{6}{\frac{3}{2}}=\frac{6\cdot 2}{3}=4$

b)

$0,135135135...=0,135+1,000135+0,000000135+\dots =\frac{135}{1000}+\frac{135}{{1000}^2}+\frac{135}{{1000}^3}+...$

Dette kan uttrykkes som en geometrisk rekke:

$a_n=\frac{135}{1000}\cdot (\frac{1}{1000}{)}^{n-1}$

Vi har $-1<k<1$, så denne rekken konvergerer. Summen av den geometriske rekken, altså tallet $0,135135135...$ blir da:

$S=\frac{a_1}{1-k}=\frac{\frac{135}{1000}}{1-\frac{1}{1000}}=\frac{\frac{135}{1000}}{\frac{999}{1000}}=\frac{135}{999}=\frac{45}{333}=\frac{15}{111}=\frac{5}{37}$

Det kan være vanskelig å vite at teller og nevner i $\frac{135}{999}$ er delelig på 27, så jeg deler teller og nevner på 3, i tre omganger.

$0,135135135...=\frac{5}{37}$

Oppgave 4

I. $a\cdot x-2y+z=4$

II. $2x+z=6$

III. $3x+3y+z=7$

Setter inn $x=-2$ i likning II.

II. $$\begin{gathered} 2\cdot (-2)+z=6 \\ z=6+4 \\ z=10 \end{gathered}$$

Setter inn $x=-2$ og $z=10$ i likning III.

III. $$\begin{gathered} 3\cdot (-2)+3y+10=7 \\ 3y=7-10+6 \\ y=\frac{3}{3} \\ y=1 \end{gathered}$$

Setter inn $x=-2$, $y=1$ og $z=10$ i likning I.

I. $$\begin{gathered} a\cdot (-2)-2\cdot 1+10=4 \\ -2a=4-10+2 \\ a=\frac{-4}{-2} \\ a=2 \end{gathered}$$

Oppgave 5

$f(x)=x^3+3x^2-4$

a)

$f(x)=x^3+3x^2-4=(x^2+4x+4)(x-1)=(x+2{)}^2\cdot (x-1)$

b)

$f^{\prime }(x)=3x^2+6x=3x(x+2)$

Finner x-verdiene i ekstremalpunktene:

$$\begin{gathered} f^{\prime }(x)=0 \\ 3x(x+2)=0 \\ x=-2\vee x=0 \end{gathered}$$

Finner y-verdiene i ekstremalpunktene:

$f(-2)=(-2{)}^3+3\cdot (-2{)}^2-4=-8+12-4=0$

$f(0)=0^3+3\cdot 0^2-4=-4$

Funksjonen $f$ har et toppunkt i $(-2,0)$ og et bunnpunkt i $(0,-4)$

c)

$f^{\prime }{}^{\prime }(x)=6x+6$

Finner x-verdien i vendepunktet:

$$\begin{gathered} f^{\prime }{}^{\prime }(x)=0 \\ 6x+6=0 \\ x=-1 \end{gathered}$$

Finner y-verdien i vendepunktet:

$f(-1)=(-1{)}^3+3\cdot (-1{)}^2-4=-1+3-4=-2$

Finner den deriverte i vendepunktet:

$a=f^{\prime }(-1)=3\cdot (-1{)}^2+6\cdot (-1)=3-6=-3$

Finner vendetangenten:

$$\begin{gathered} (y-y_1)=a\cdot (x-x_1) \\ y-(-2)=-3(x-(-1)) \\ y+2=-3x-3 \\ y=-3x-5 \end{gathered}$$

d)

Husk at dette må gjøres for hånd på eksamen.

Har ekstremalpunktene A=(-2,0) og B=(0,-4), samt vendepunktet C=(-1, -2) fra før.

Finner f(-3) og f(1) i tillegg.

$f(-3)=(-3{)}^3+3\cdot (-3{)}^2-4=-27+27-4=-4$

$f(1)=1^3+3\cdot 1^2-4=1+3-4=0$

Vi har nå også punktene E=(1,0) og F=(-3,-4). Det holder for en skisse.

e)

Fra før av har vi nullpunktene til funksjonen $f$, A=(-2,0) og E=(1,0). Setter $u=\ln x$.

$$\begin{gathered} (\ln x{)}^3+3(\ln x{)}^2-4=0 \\ {u}^3+3u^2-4=0 \\ u=-2\vee u=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \ln x=-2\vee \ln x=1 \\ x=e^{-2}\vee x=e \end{gathered}$$

Oppgave 6

$h(t)=\frac{100}{1+a\cdot e^{-0,0693\cdot t}}$

a)

$$\begin{gathered} h(0)=20 \\ \frac{100}{1+a\cdot e^{-0,0693\cdot 0}}=20 \\ \frac{100}{1+a\cdot 1}=20 \\ 100=20\cdot (1+a) \\ 100=20+20a \\ a=\frac{80}{20} \\ a=4 \end{gathered}$$

b)

Tallet 100 er den verdien h(t) konvergerer mot når t går mot uendelig. Dette fordi nevneren vil nærme seg 1 når t går mot uendelig (fordi $e^{-\mathrm{\infty }}\approx 0$), og brøken får da tellerens verdi.

Etter mange år vil altså antall gås på øya stabilisere seg på 100.

c)

Siden $h^{\prime }{}^{\prime }(20)=0$, er vendepunktet til funksjonen i $t=20$. Vendepunktet er der veksten er raskest.

Hekkebestanden øker raskest etter 20 år.

Oppgave 7

a)

$E(X)=0\cdot 0,45+1\cdot 0,30+2\cdot 0,10+3\cdot 0,10+4\cdot 0,05=0,30+0,20+0,30+0,20=1$

E(X) forteller oss at vi kan forvente 1 skade på et tilfeldig valgt epletre.

b)

$$\begin{gathered} VAR(X)=(0-1{)}^2\cdot 0,45+(1-1{)}^2\cdot 0,30+(2-1{)}^2\cdot 0,10+(3-1{)}^2\cdot 0,10+(4-1{)}^2\cdot 0,05 \\ =0,45+0,10+0,40+0,45=1,4 \end{gathered}$$

c)

S er summen av X antall skader på 400 uavhengige tilfeldige valg av trær. Sentralgrensesetningen sier at for et stort antall forsøk (slik som 400) er S tilnærmet normalfordelt.

$E(S)=n\cdot E(X)=400\cdot 1=400$

$STDAV(S)=\sqrt{400}\cdot STDAV(X)=\sqrt{400}\cdot \sqrt{VAR(X)}=\sqrt{400}\cdot \sqrt{1,4}$

$VAR(S)=(STDAV(S){)}^2=400\cdot 1,4=560$

d)

$x=50\cdot 1,2=60$

$z=\frac{x-\mu }{\sigma }=\frac{60-50}{8}=\frac{10}{8}=\frac{5}{4}=1,25$

$P(Z\ge 1,25)=1-P(Z\le 1,25)=1-0,8944=0,1056$

Det er 10,56% sannsynlighet for at denne eplegården må sette i verk tiltak dersom de får tilsyn.

DEL 2

Oppgave 1

a)

La x være antall kalkuner, y være antall griser, og z være antall juletrær.

$x+y+z=1284$

$2x+4y+z=2599$

$x=2(y+z)$

b)

Det er 153 griser på gården.

Oppgave 2

$I(p)=1500p\cdot e^{-0.05p},p\in [10,80]$

a)

Tegner grafen til $I$ i Geogebra.

b)

Bruker kommandoen Ekstremalpunkt[funksjon, start, slutt] og skriver Ekstremalpunkt[I,10,80]. Får punkt A=(20, 11036).

Den prisen som gir høyest inntekt er 20 kroner per enhet.

c)

Pris per enhet ganger antall solgte enheter gir oss den totale inntekten.

$$\begin{gathered} p\cdot x=I(x) \\ p=\frac{I(x)}{x} \end{gathered}$$

Setter inn $\frac{I(x)}{x}$ for p, i funksjonen $I(p)$

Får da:

$I(x)=1500\cdot \frac{I(x)}{x}\cdot e^{-0.05\frac{I(x)}{x}}$

Løser dette i CAS i Geogebra:

Svaret står ikke på samme måte som det vi skulle vise, men vi kan omforme det ved hjelp av logaritmereglene:

$-20x\cdot ln(\frac{x}{1500})=-20x\cdot (ln(x)-ln(1500))=-20x\cdot ln(x)+20x\cdot ln(1500)=20x\cdot (ln(1500)-lnx)=20x\cdot ln(\frac{1500}{x})$

Vi har nå vist at $I(x)=20x\cdot ln(\frac{1500}{x})$

d)

Kostnaden for x produserte enheter per uke kan uttrykkes ved:

$K(x)=15x+2000$

Overskuddet per uke kan uttrykkes ved:

$O(x)=I(x)-K(x)$

Bruker CAS i Geogebra til å finne et uttrykk for O (linje 3), og ekstremalpunktet til O (linje 4). Sjekker også at ekstremalpunktet er et toppunkt, ved å sjekke at funksjonen vokser før ekstremalpunktet, og synker etter ekstremalpunktet (linje 5 og 6).

Det største overskuddet bedriften kan få per uke er ca. 3212,22 kr.

Oppgave 3

a)

$\mu =12+\frac{43}{60}=12,7167$ min

$\sigma =\frac{54}{60}=0,9$ min

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra.

Sannsynligheten for at en tilfeldig valgt gutt greier tidskravet på 3000-meterløpet er 0,6235.

b)

Bruker sannsynlighetskalkulatoren i Geogebra, og fyller ut en sannsynlighet på 0,05.

Vi finner ut at Pål må løpe på 11,2363 min. $0,2363\ast 60=14,178$ sekunder.

Pål må løpe på under 11 minutter og 14 sekunder.