Aritmetriske rekker

Fra Matematikk.net
Sideversjon per 5. jul. 2020 kl. 10:00 av Quiz (diskusjon | bidrag) (→‎Aritmetisk rekke (sum))
(diff) ← Eldre sideversjon | Nåværende sideversjon (diff) | Nyere sideversjon → (diff)
Hopp til: navigasjon, søk

Aritmetisk progresjon

En aritmetisk følge er en tallfølge, {ai}iN (N={1,2,3,...}), slik at differansen mellom to påfølgende ledd er konstant; ai+1ai=d.

Eksempel

Vi kan definere en spesiell aritmetisk følge ved at ai+1ai=2. For at denne følgen skal være unikt bestemt må vi definere en startverdi, f.eks. a1=3. Følgen {ai}iN er nå entydig bestemt siden formlene over gir at a2a1=a23=2. Dette gir at a2=2+3=5. Videre er a3a2=a35=2, så a3=2+5=7 osv.


Test deg selv

Aritmetisk rekke (sum)

En aritmetisk rekke er summen av leddene ai i en aritmetisk progresjon {ai}iN med et endelig antall ledd N. Den n-te partialsummen(delsummen) er summen av de nN første leddene i rekken og kan defineres ved at Sn=i=1nai. Siden ai+1=d+ai for aritmetiske følger, kan vi utlede en lukket form for den aritmetiske rekken av n ledd:

Sn=i=1nai=a1+(a1+d)+(a1+2d)+...+(a1+(n1)d)=na1+i=1n(i1)d=na1+di=0n1i=na1+n(n1)2d

Merk at formelen kun avhenger av startverdien a1 og den konstante differansen d.

Alternativt kan vi uttrykke den samme aritmetiske rekken ved Sn=i=1nai=a1+an2n. Ideen her er å finne gjennomsnittsverdien av par av ledd: Første og siste ledd har et gjennomsnitt a1+an2. Andre og nest siste ledd har samme gjennomsnitt osv. Siden summen består av n ledd der hvert ledd har et gjennomsnitt på a1+an2, blir summen a1+an2n.

Eksempel

La oss se på den endelige følgen (ai=i)i[1,10]={1,2,,10} Da blir summen S=i=110i=1+10210=55


Test deg selv


Tilbake til R2 Hovedside