R1 2022 Vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Videoløsning del 1 av Lektor Lainz

Løsning som pdf av Farhan Omar

DEL 1

Oppgave 1

a)

$f(x)=x^3+lnx$

$f^{\prime }(x)=3x^2+\frac{1}{x}$

b)

$g(x)=x\cdot e^{2x}$

$g^{\prime }(x)=1\cdot e^{2x}+x\cdot 2\cdot e^{2x}=e^{2x}(1+2x)$

Oppgave 2

$e^{2x}-e^x=2$

$(e^x{)}^2-e^x-2=0$

Setter $u=e^x$

$u^2-u-2=0$

$(u+1)(u-2)=0$

$u=-1\vee u=2$

$e^x=-1\vee e^x=2$

Forkaster det negative svaret fordi ln(-1) ikke er definert.

$ln(e^x)=ln(2)$

$x=ln(2)$

Oppgave 3

$\underset{x\to 3}{lim}\frac{x-3}{x^2+x-12}$

$=\underset{x\to 3}{lim}\frac{x-3}{(x-3)(x+4)}$

$=\underset{x\to 3}{lim}\frac{1}{x+4}$

$=\frac{1}{7}$

Oppgave 4

a)

$\overrightarrow{AC}=[t-1,4-2]=[t-1,2]$

$\overrightarrow{AB}=[-1-1,5-2]=[-2,3]$

Dersom vinkelen mellom to vektorer er 90 grader, er skalarproduktet av disse to vektorene lik 0.

$\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{AB}=0$

$[t-1,2]\cdot [-2,3]=0$

$(t-1)\cdot (-2)+2\cdot 3=0$

$-2t+2+6=0$

$-2t=-8$

$t=4$

Anbefaler å tegne et lite koordinatsystem for å se at det stemmer.

b)

Dersom A, B og C skal ligge på en rett linje, er $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{AB}$ parallelle. Da har vi at:

$\overrightarrow{AC}=k\cdot \overrightarrow{AB}$

$[t-1,2]=k\cdot [-2,3]$

Dette gir oss to likninger:

$It-1=-2k$

$II2=3k\Rightarrow k=\frac{2}{3}$

Setter inn k=2/3 inn i likning I:

$It-1=-2\cdot \frac{2}{3}$

$t=\frac{-4}{3}+1$

$t=-\frac{1}{3}$

DEL 2

Oppgave 4

Bruker CAS i Geogebra.

Det tar ca. 7,8 timer før temperaturen i kaffen er mindre enn 40 grader Celsius.