1T 2023 vår LK20 LØSNING

Oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

DEL 2

Oppgave 1

a)

Bruker Geogebra til å tegne grafen til T, og finner de to nullpunktene i definisjonsområdet: B=(5.8,0) og C=(8.9,0).

Temperaturen er over 0 grader Celsius fra 5,8 til 8,9 måneder etter 1. januar.

April: måned nr. 5. I tillegg 0,8*30 = 24 døgn inn i april. Juli: måned nr. 8. I tillegg 0,9*31 = ca. 28 døgn inn i juli.

Til sammen er temperaturen over 0 grader Celsius: 7 døgn i april + 31 døgn i mai + 30 døgn i juni + 28 døgn i juli = 96 døgn.

Oppgave 2

a)

Dersom lengden er 60 meter, blir bredden 10 meter. Arealet blir da $60\cdot 10=600$ kvadratmeter.

b)

Bruker Excel til å lage en oversikt. Bildet viser oversikten til venstre, og formlene som er brukt til høyre.

Det kan se ut som om Herman sin påstand er riktig. I oversikten er det største arealet når lengden er dobbel så stor som bredden.

c)

Funksjonen $f(x)=x\cdot \frac{80-x}{2}$ viser areal av rektangelet som funksjon av lengden x. Bruker Geogebra til å tegne grafen til f, og til å finne ekstremalpunktet A=(40,800).

Funksjonen viser at rektangelet har størst areal når lengden er 40, og da dobbelt så stor som bredden på 20.

Oppgave 3

Løser oppgaven i CAS.

Linje 1: Bruker arealsetningen til å bestemme arealet til trekant ABC.

Linje 2: Bruker cosinussetningen til å bestemme lengden AC.

Linje 3: Bruker cosinussetningen til å bestemme $\mathrm{\angle }ADC$.

Linje 4: Siden CAS gir svaret i radianer, deler jeg på grader-tegnet for å få $\mathrm{\angle }ADC$ i grader.

Linje 5: Bruker arealsetningen til å bestemme arealet til trekant ACD.

Linje 6: Legger sammen arealet til de to trekantene.

Arealet av figuren ABCD er ca. 50,8.

Oppgave 4

a)

Arealet av hvert rektangel er gitt ved:

$A=l\cdot b=1\cdot f(x)$

Bruker CAS til å regne ut summen til arealet av de seks rektanglene.

Arealet er av de seks rektanglene er ca. 21,8.

b) og c)

Arealet av 6000 rektangler er ca. 20.

Oppgave 5

Løser oppgaven i CAS. Finner arealet av hver trekant uttrykt ved r (linje 1-3), og løser til slutt likningen for summen av arealene til de tre trekantene (linje 4) for å finne verdien til r.

Linje 1: bruker formelen for areal av en trekant, A = 1/2 * grunnlinje * høyde

Linje 2: arealsetningen. $\mathrm{\angle }ASB={180}^{\circ }-{30}^{\circ }-{30}^{\circ }={120}^{\circ }$

Linje 3: arealsetningen. $\mathrm{\angle }ASC={360}^{\circ }-{90}^{\circ }-{120}^{\circ }={150}^{\circ }$

Verdien av r er $2\sqrt{2}$.

Oppgave 6

a)

Bruker CAS til å bestemme topp- og bunnpunktene, og ser på grafen at dette er topp- og bunnpunkt (og f.eks. ikke terrassepunkt).

Grafen til f har et toppunkt i (0,2) og et bunnpunkt i (2,-2).

b)

Hvis man tegner en generell tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd i Geogebra, $f(x)=a{x}^3+b{x}^2+d$, og bruker glidere for a, b, og d, vil man se at det alltid er et topp-, bunn-, eller terrassepunkt i x = 0. For eksempel har grafen til $x^3$ et terrassepunkt i x = 0.

Dersom man deriverer denne generelle tredjegradsfunksjon uten førstegradsledd, f, ser man at den deriverte alltid er lik 0 når x = 0. Det vil si at grafen til f har et topp- bunn- eller terrassepunkt i x = 0, for alle verdier av a, b og d. Et eventuelt annet ekstremalpunktet vil avhenge av verdien til a og b. Jeg bruker CAS for å vise dette: