2MX V2004

Oppgave 1

I hele oppgave 1 skal du på hvert delspørsmål velge mellom alternativ I og alternativ II. Du skal bare regne ett av alternativene, og alternativ II gir om lag dobbelt så stor uttelling som alternativ I.

a) Løs likningene ved regning

1. Enten I: \( e^x = 4 \)
2. eller II: \( 10^{x-1} = 10000 \)

1. Enten I: \( \sqrt{x^2 + 3} = x + 1 \)
2. eller II: \( \sqrt{2x + 17} - x = 1 \)

b) Deriver funksjonene

1. Enten I: \( f(x) = 4x^4 - 2x^3 \)
2. eller II: \( h(x) = \frac{\ln x}{x} \)

1. Enten I: \( g(x) = x \cdot e^x \)
2. eller II: \( k(x) = (x^2 - 1)^3 \)

c) Bestem integralene ved regning

1. Enten I: \( \int_0^1 3x^2 \, dx \)
2. eller II: \( \int_{-2}^{2} (e^{-x} + 4)\, dx \)

d)

Enten I: Undersøk om vektorene \( \vec{p} = 3\vec{a} + 9\vec{b} \) og \( \vec{q} = \vec{a} + 3\vec{b} \) er parallelle.

eller II: Undersøk om det finnes tall \( k \) slik at vektorene \( \vec{p} = (1 - k)\vec{a} + 3\vec{b} \) og \( \vec{q} = -\vec{a} + (k + 1)\vec{b} \) er parallelle.

---

Oppgave 2

Vektorene \( \vec{a} \) og \( \vec{b} \) er gitt på figuren nedenfor.

a)

Tegn vektorene inn på svararket ditt. Tegn også vektorene \( \vec{a} + \vec{b} \) og \( 2\vec{a} - \vec{b} \) på det samme arket.

b)

Vektorene på figuren er tegnet i et koordinatsystem. Forklar at koordinatene til \( \vec{a} \) er \([3, 1]\). Finn koordinatene til \( \vec{b} \).

c)

Regn ut \( \vec{a} \cdot \vec{b} \). Forklar hvordan du ut fra svaret kan avgjøre om \( \vec{a} \perp \vec{b} \).

En linje \( l \) går gjennom punktet \( (1, \frac{3}{2}) \) og er parallell med \( \vec{a} \).

d)

Forklar at en parameterframstilling for linja \( l \) er:

\( l: \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = \frac{3}{2} + t \end{cases} \)

En linje \( m \) går gjennom punktet \( (8, \frac{1}{2}) \) og er parallell med \( \vec{b} \).

e)

Finn en parameterframstilling for linja \( m \). Bestem skjæringspunktet mellom linjene \( l \) og \( m \) ved regning.