Eksponentiell vekst - halvering

Man kan tenke seg vekst på mange måter. Vekst kan skje lineært, ved at veksten er konstant hele tiden. Man kan også tenke seg at noe vokser mest i begynnelsen for så å avta. Motsatt kan man tenke seg at ting vokser seint i begynnelsen, for så å øke etter hvert. Eksponentiell vekst er av denne typen. Likninger av typen :

$Y=k^t$

t representerer en tidsenhet(sek, min, timer, dager, år - osv) og vi forutsetter at verdien er positiv.

Dersom k = 1 har vi en konstant stabil tilstand.

Dersom k > 1 har vi en tilstand med vekst.

Dersom k < 1 har vi en tilstand der noe minker.

Dersom k = 1,1 og t symboliserer tidsenheter betyr det at vi har en vekst på 10% per tidsenhet. Grafen ser slik ut:

Vi ser at veksten er svak i begynnelsen, men når vi passerer 30 tidsenheter begynner funksjonen å vokse kraftig.

Dersom vi har pengesummen $Y_0$ som utgangspunkt og tidsenheten t symboliserer år, vil Y fortelle oss hvor mye penger vi har etter t år, med en rente på 10%.

$Y=Y_0{k}^t$

Formelen kan brukes generelt til eksponentiell vekst. $Y_0$ representer mengden eller konsentrasjonen ved tiden t = 0, altså situasjonen i utgangspunktet.

Vi har sett hvordan formelen $Y=Y_0{k}^t$ kan beskrive vekst. På samme måte kan den symbolisere reduksjon.

C-14 metoden

Tiden det tar for en radioaktiv isotop av karbon å redusere sin radioaktivitet til det halve kan benyttes til å datere enkelte organiske materialer. Dersom materialene vi ønsker å undersøke er riktig gamle må vi benytte andre metoder, men halveringstiden til C-14 holder lenge. Fysikken bak dette er vel beskrevet andre steder på nettet og blir ikke diskutert her.

C-14 har en halveringstid på 5730 år. Et organisk stoff består alltid av en gitt mengde C-14 atomer. Når organismen dør avtar mengden C-14 atomer. Når det har gått 5730 år består det organiske stoffet av halvparten så mange C-14 atomer som når stoffet var en del av noe levende. Vi setter opp

$N(t)=N_0(\frac{1}{2}{)}^t$

$N_0$ er konsentrasjonen av radioaktivt C-14 i dødsøyeblikket. t er tiden og N(t) er konsentrasjonen av C-14 etter tiden t.

Vi er interessert i forholdet $\frac{N(t)}{N_0}$

som gir

$(\frac{1}{2}{)}^t=\frac{N(t)}{N_0}$

Dersom vi finner et organisk materiale og måler det radioaktive innholdet til å være 60% av den opprinnelige mengde får vi:

$(\frac{1}{2}{)}^t=0,6$

t log0,5 = log0,6

$t=\frac{log0,6}{log0,5}=0,737$

Det betyr at stoffet har vært utsatt for 0,737 halveringer, altså er det 0,737 · 5730 år = 4223 år gammelt.

Figuren viser halveringskurven til 10 kg av et stoff med halveringstid 20 år.

Funksjonsuttrykket er:

$N(t)=10\cdot (\frac{1}{2}{)}^{\frac{t}{20}}$

---