R2 2011 høst LØSNING

Del 1

Oppgave 1

a)

1) Produktregelen gir at $f(x)=x{e}^x\Rightarrow f^{\prime }(x)=e^x+x{e}^x=(1+x)e^x$.

2) Kjerneregelen gir at $g(x)=2\sin 2x\Rightarrow g^{\prime }(x)=4\cos 2x$.

3) Kjerneregelen gir at $h(x)=2{\sin }^{2}x\Rightarrow h^{\prime }(x)=4\sin x\cos x$

b)

1) Delvis integrasjon gir at $\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin xdx=x\sin x+\cos x+C$ med integrasjonskonstant $C$.

2) $\int \frac{4}{x^2-4}dx=\int \frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2}dx=\ln |x-2|-\ln |x+2|+C$

3) Delvis integrasjon gir at $\int \sin x{\cos }^{3}xdx=-{\cos }^{4}x-3\int \sin x{\cos }^{3}xdx$. Samler vi integralene får vi at $\int \sin x{\cos }^{3}xdx=-\frac{1}{4}{\cos }^{4}x+C$

c)

$$\begin{array}{rlr}{S}_1& =1& \\ S_2& =S_1+3& =& 4\\ S_3& =S_2+5& =& 9\\ S_4& =S_3+7& =& 16\\ & ⋮\\ S_n& =\frac{n(2n-1+1)}{2}& =& n^2\end{array}$$

d)

$$\begin{array}{rl}{S}_1& =1\\ S_2& =2^3\\ S_3& =3^3\\ S_4& =4^3\\ & ⋮\\ S_{100}& ={100}^3\end{array}$$

e)

1)

2)

g)

1)

2)