1T 2010 høst LØSNING
DEL 1.
Oppgave 1
a)
<tex> x+y=4 \wedge 3x - y =8</tex>
<tex>y=4-x \wedge 3x-4+x=8</tex>
<tex>y=4-x \wedge 4x=12</tex>
<tex>y=4-x \wedge x=3</tex>
<tex>y=1 \wedge x=3</tex>
<tex>x=3 \wedge y=1</tex>
b)
<tex>- \frac14x+2 =2x- \frac52</tex>
<tex>x+8 =8x- 10</tex>
<tex>- 9x = - 18</tex>
<tex>x = 2</tex>
c)
<tex>5,7 \cdot 10^4 + 3,0 \cdot 10^3 = 57000 + 3000 = 60000 = 6,0 \cdot 10^4</tex>
d)
<tex> \frac{3}{x+4} + \frac{24}{x^2-16} = \frac{3}{x+4} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3 (x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \\ \frac{3x-12}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)}= \frac{3x + 12}{(x+4)(x-4)} = \frac{3(x+4)}{(x+4)(x-4)}= \frac{3}{x-4}
</tex>
e)
f)
g)
1)Sannsynlighet for å like begge:
<tex>P(liker \quad begge) =\frac{16}{25}\cdot \frac{15}{24} = \frac 35</tex>
2) Sannsynligheten for bare å like en:
<tex>P(liker \quad bare \quad en) = \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} + \frac{9}{25} \cdot \frac{16}{24} = \frac{12}{25}</tex>
Oppgave 2
a)
<tex> f(x) = \frac 13x^3-^x^2 + 7 \\ f'(x) = x^2-2x \\ f'(1) = 1^2 - 2 \cdot 1 = -1</tex>
b)
<tex>f(0)= 7 \\ f(3) = 7</tex>
Den gjennomsnittlige veksten fra x = 0 til x = 3 er null. Siden den momentane vekstfarten for x = 1 er -1 har funksjonen et minimumspunkt i intervallet.
c)
<tex>f'(x) = 0 \\ x^2 - 2x = 0 \\ x(x-2) = 0 \\ x=0 \wedge x=2</tex>
<tex>f(0)= 7 \\ f(2) = \frac{17}{3} </tex>
Sjekker forttegnet for den deriverte for x = -1 og x = 3 og finner at begge er positive. Fra før vet vi at den deriverte er negativ for x=1.
Maksimumspunkt: <tex>(0, 7)</tex>
Minimumspunkt:<tex>(2, \frac{17}{3})</tex>
DEL 2
Oppgave 3
a)
b)
Det vil finne sted når brøkeksponenten er en, altså etter 5730 år.
c)
<tex>T(x) = 100 \cdot 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ 0,865 = 0,5^{\frac{x}{5730}} \\ \Downarrow \\ x = 5730 \cdot \frac{lg 0,865}{lg 0,5} = 1200
</tex>
Brønnen var ca. 1200 år gammel.
Oppgave 4
a)
<tex> tan(51,3^{\circ}) = \frac{h}{10m}\\ \Downarrow \\
x= 10 \cdot tan(51,3^{\circ})\\ \Downarrow \\ x = 12,48 m</tex>
b)
<tex> \frac{Sin (15,4 ^{\circ})}{40m} = \frac{Sin (94,9 ^{\circ})}{AB} \\ \Downarrow \\ AB = 150m </tex>
c)
Finner først en vinkel ved å bruke cosinussetningen. Bruker så arealsetningen.
