(Ny side: [https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2413 Oppgaven som pdf] [https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=49196 Diskusjon av denne oppgaven])
 
(c))
 
(55 mellomrevisjoner av 2 brukere vises ikke)
Linje 1: Linje 1:
 
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2413 Oppgaven som pdf]
 
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2413 Oppgaven som pdf]
 +
 +
[https://matematikk.net/matteprat/download/file.php?id=2435 Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas]
  
 
[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=49196 Diskusjon av denne oppgaven]
 
[https://matematikk.net/matteprat/viewtopic.php?f=13&t=49196 Diskusjon av denne oppgaven]
 +
 +
 +
===DEL EN===
 +
 +
==Oppgave 1==
 +
 +
 +
Organiserer datamaterialet i stigende rekkefølge:
 +
 +
0,0,  1,1,1,1, 2,2,2,2,2,  3,3,3,  4,  5,5,  6,  8, 9
 +
 +
Variasjonsbredden er største minus minste verdi: 9 - 0 = 9
 +
 +
Median er gjennomsnittet av de to tallene i midten (fordi antall verdier er partall): 2
 +
 +
Gjennomsnittet er summen delt på antall observasjoner: $\frac{60}{20} = 3$
 +
 +
==Oppgave 2==
 +
 +
$0,8x = 640 \\ x = \frac{640}{0,8} \\ x = 800$
 +
 +
Varen kostet 800 kroner.
 +
 +
==Oppgave 3==
 +
 +
$7,03 \cdot 10^7 - 7000000 = \\ 7,03 \cdot 10^7 - 0,7 \cdot 10^7 =  \\  (7,03- 0,7) \cdot 10^7 = \\ 6,33 \cdot 10^7$
 +
 +
==Oppgave 4==
 +
 +
$\frac{2^0+2^3 \cdot 2^2 + (2^3)^2 - 2}{2 \cdot 2^2} +2^{-3} = \\ \frac{1+8\cdot 4+ 64-2}{8} + \frac 18 = \\ \frac{95}{8} + \frac 18 = \\ \frac{96}{8} = 12$
 +
 +
==Oppgave 5==
 +
 +
 +
a)
 +
 +
y = ax + b, der a er stigningstall og b er skjæring med y akse (konstantledd). Vi ser at grafen øker med 200 når antallet pakker øker fra 4 til 8. Det betyr at a = 50.
 +
 +
Vi har at:
 +
 +
$350 = 50 \cdot 4 + b \\ b = 150 $
 +
 +
Altså y = 50x + 150
 +
 +
==b)==
 +
 +
Det koster 50 kroner per pakke (stigningstall a). x er antall pakker. Det koster 150 kroner for å få budfirmaet til å møte opp (konstantledd b), altså en fast kostnad.
 +
 +
==Oppgave 6==
 +
 +
 +
===a)===
 +
 +
Når man skal regne gjennomsnitt i klassedelt materiale antar vi at gjennomsnittet i hver klasse ligger på klassemidpunktet, selv om vi egentlig ikke vet noe om det. Det viser seg at dette ofte blir ganske riktig.
 +
 +
Klaaemidpunktene er: 5, 15, 30 og 60.
 +
 +
Vi multipliserer disse med den tilhørende frekvensen, legger sammen resultatene for alle klassene ( her er det fire) og deler på det totale antall (200):
 +
 +
$Gjsnitt = \frac{5 \cdot 60 + 15 \cdot 80 + 30 \cdot 50 + 60 \cdot 10}{200} = \frac{300 + 1200 + 1500 + 600}{200} = \frac{3600}{200} = 18$
 +
 +
Gjennomsnittlig reisetid er ca. 18 minutter.
 +
 +
===b)===
 +
 +
Når det er 200 elever, er medianeleven gjennomsnittet av elev 100 og 101, altså cirka 40 elever inn i klasse [10, 20>. Dette er midt i klassen, siden den har 80 elementer. I Stigende rekkefølge, jevnt fordelt, blir medianverdien ca 15 minutter, som også er klassemidtpunkt.
 +
 +
===c)===
 +
 +
 +
Du må gjøre dette med blyant og linjal. Husk at "søylehøyden" er frekvens delt på klassebredde.
 +
 +
 +
[[File:2p-v19-1-6-c.png]]
 +
 +
==Oppgave 7==
 +
 +
 +
===a)===
 +
[[File:2p-v19-1-7-a.png]]
 +
 +
===b)===
 +
[[File:2p-v19-1-7-b.png]]
 +
 +
Ved å bruke de små kvadratene til å lage ett stort ser man at man hele tiden får ett lite kvadrat til overs, altså $n^2 + 1$
 +
 +
===c)===
 +
 +
[[File:2p-v19-1-7-c.png]]
 +
 +
Antall kvadrater i figur nr. n kan uttrykkes som $A(n) = n^2 + n$.
 +
 +
==DEL TO==
 +
 +
==Oppgave 1==
 +
 +
===a)===
 +
 +
$V(x)= (10-0,1x^2)^3 \quad 0\leq x \leq 10$
 +
 +
 +
$V(0) = 10^3 = 1000$
 +
 +
Tanken rommer 1000 liter.
 +
 +
===b)===
 +
 +
[[File:2p-v19-2-1-b.png]]
 +
 +
===c)===
 +
 +
Fra figuren i b ser man at det tar 5,13 minutter i desimal tid. Vi gjør 0,13 om til sekunder:
 +
 +
$\frac{13}{100} =\frac {x}{60} \\ x =7,8$
 +
 +
Det tar 5 minutter og 8 sekunder før det er 400 liter igjen i tanken.
 +
 +
===d)===
 +
 +
1000 liter tømmes på 10 minutter. Det blir i gjennomsnitt 1000 liter/ 10 min som er 100 L/min.
 +
 +
===e)===
 +
 +
Se figuren i b: Lag linjen x=3 og finn skjæring med grafen. I punktet lager man tangenten til grafen. Stigningen til tangenten i punktet er den momentane veksten for x =3. Den er - 149. Det betyr at akkurat når det har gått 3 minutter tømmes tanken med en fart på 149 L/ min.
 +
 +
 +
==Oppgave 2==
 +
 +
==Oppgave 3==
 +
 +
===a)===
 +
 +
 +
5,3 millioner = 5 300 000 = $ 5,3 \cdot 10^6$
 +
 +
Dette er en litt uklar oppgave, men her antar man at det er plasten i en vegg som er 0,035mm, da blir tykkelsen av en pose 0,070 mm.
 +
 +
180 poser med en høyde på 0,07 mm = 0,00007 meter = $7,0 \cdot 10^{-5}$
 +
 +
 +
Høyde: $h =7,0 \cdot 10^{-5} \cdot  5,3 \cdot 10^6 \cdot 180 m = 66780$  meter.
 +
 +
===b)===
 +
 +
Det er $365 \cdot 24= 8760$ timer i et år. Vi finner hvor mange meter poser som kastes per time i gjennomsnitt: 66740m / 8760 timer = 7,6m/t. Dersom man stabler plastposene oppå hverandre kastet det en stabel på 7,6 meter hver time, i gjennomsnitt. Tar man høyden på Eiffeltårnet og deler på 7,6 m/t finner man hvor mange timer det vil ta før stabelen er like høy som tårnet.
 +
 +
324m : 7,6 m/t = 42,6
 +
 +
Det tar ca. 43 timer, altså under to døgn, før stabelen er like høy som Eiffeltårnet.
 +
 +
==Oppgave 4==
 +
 +
===a)===
 +
 +
[[File:2p-v19-2-4-a.png]]
 +
 +
Bruker regresjon i Geogebra. a = 0,01 og b = 3.
 +
 +
===b)===
 +
 +
Vi bruker vekstfaktor. 25% tilsvarer vekstfaktor 1,25. $1,25^3 = 1,95$ som tilsvarer 95% eller nesten en dobling. Når lengden øker med 25% får vi nesten en dobling (95%) av vekten.
 +
 +
==Oppgave 5==
 +
 +
===a)===
 +
 +
Utgangsprisen er 800 kr. For hver time som går, halveres prisen. Halvparten av 50 kr. er 25 kr. og halvparten av det er 12,50. Dvs. kl 02:00 er prisen 13 kroner (50 øren er historie).
 +
 +
===b)===
 +
 +
Dette er en verdi som reduseres med 50% hver time: $f(x) = 800 \cdot 0,5^x$. Vekstfaktoren er 0,5 og x er tiden i timer.
 +
 +
==Oppgave 6==
 +
 +
===a)===
 +
 +
 +
 +
===b)===
 +
 +
=== 1===
 +
 +
Er ikke mulig. Da burde  gjennomsnittet i Idas poser være større enn Emils.
 +
 +
===2===
 +
 +
Det er ikke mulig for da ville standardavviket være null.
 +
 +
===3===
 +
 +
Det kan være mulig. Da er det stor spredning på resterende poser.
 +
 +
==Oppgave 7==
 +
 +
'''Situasjon 1:'''
 +
 +
Dette er en lineær sammenheng. 9 kroner er konstantleddet, og stigningstallet er 15 kroner. x er antall hektogram. Kurve H beskriver situasjonen.
 +
 +
'''Situasjon 2'''
 +
 +
Når en størrelse vokser med en fast prosent, vil det si at den vokser eksponentielt. Graf B beskriver forløpet.
 +
 +
 +
'''Situasjon 3'''
 +
 +
Et eksempel på at det lønner seg å følge med i naturfagtimene også :-) Når noe først vokser tilnærmet eksponentielt, for så å stabilisere seg har man det man i naturfag kaller sigmoid vekst som beskrives med en såkalt S kurve. I matematikken kalles dette for logistisk modell. Den kurven som passer best er graf F.
 +
 +
 +
 +
'''Situasjon 4'''
 +
 +
Vi tenker på prisen det koster å sende pakke som y verdien. Vi ser at det kun er tre forskjellige verdier som ikke er kontinuerlige. Hver av prisene gjelder innen et vekt intervall. Graf C passer.

Nåværende revisjon fra 17. okt 2019 kl. 10:08

Oppgaven som pdf

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

Diskusjon av denne oppgaven


Innhold

[rediger] DEL EN

[rediger] Oppgave 1

Organiserer datamaterialet i stigende rekkefølge:

0,0, 1,1,1,1, 2,2,2,2,2, 3,3,3, 4, 5,5, 6, 8, 9

Variasjonsbredden er største minus minste verdi: 9 - 0 = 9

Median er gjennomsnittet av de to tallene i midten (fordi antall verdier er partall): 2

Gjennomsnittet er summen delt på antall observasjoner: $\frac{60}{20} = 3$

[rediger] Oppgave 2

$0,8x = 640 \\ x = \frac{640}{0,8} \\ x = 800$

Varen kostet 800 kroner.

[rediger] Oppgave 3

$7,03 \cdot 10^7 - 7000000 = \\ 7,03 \cdot 10^7 - 0,7 \cdot 10^7 = \\ (7,03- 0,7) \cdot 10^7 = \\ 6,33 \cdot 10^7$

[rediger] Oppgave 4

$\frac{2^0+2^3 \cdot 2^2 + (2^3)^2 - 2}{2 \cdot 2^2} +2^{-3} = \\ \frac{1+8\cdot 4+ 64-2}{8} + \frac 18 = \\ \frac{95}{8} + \frac 18 = \\ \frac{96}{8} = 12$

[rediger] Oppgave 5

a)

y = ax + b, der a er stigningstall og b er skjæring med y akse (konstantledd). Vi ser at grafen øker med 200 når antallet pakker øker fra 4 til 8. Det betyr at a = 50.

Vi har at:

$350 = 50 \cdot 4 + b \\ b = 150 $

Altså y = 50x + 150

[rediger] b)

Det koster 50 kroner per pakke (stigningstall a). x er antall pakker. Det koster 150 kroner for å få budfirmaet til å møte opp (konstantledd b), altså en fast kostnad.

[rediger] Oppgave 6

[rediger] a)

Når man skal regne gjennomsnitt i klassedelt materiale antar vi at gjennomsnittet i hver klasse ligger på klassemidpunktet, selv om vi egentlig ikke vet noe om det. Det viser seg at dette ofte blir ganske riktig.

Klaaemidpunktene er: 5, 15, 30 og 60.

Vi multipliserer disse med den tilhørende frekvensen, legger sammen resultatene for alle klassene ( her er det fire) og deler på det totale antall (200):

$Gjsnitt = \frac{5 \cdot 60 + 15 \cdot 80 + 30 \cdot 50 + 60 \cdot 10}{200} = \frac{300 + 1200 + 1500 + 600}{200} = \frac{3600}{200} = 18$

Gjennomsnittlig reisetid er ca. 18 minutter.

[rediger] b)

Når det er 200 elever, er medianeleven gjennomsnittet av elev 100 og 101, altså cirka 40 elever inn i klasse [10, 20>. Dette er midt i klassen, siden den har 80 elementer. I Stigende rekkefølge, jevnt fordelt, blir medianverdien ca 15 minutter, som også er klassemidtpunkt.

[rediger] c)

Du må gjøre dette med blyant og linjal. Husk at "søylehøyden" er frekvens delt på klassebredde.


2p-v19-1-6-c.png

[rediger] Oppgave 7

[rediger] a)

2p-v19-1-7-a.png

[rediger] b)

2p-v19-1-7-b.png

Ved å bruke de små kvadratene til å lage ett stort ser man at man hele tiden får ett lite kvadrat til overs, altså $n^2 + 1$

[rediger] c)

2p-v19-1-7-c.png

Antall kvadrater i figur nr. n kan uttrykkes som $A(n) = n^2 + n$.

[rediger] DEL TO

[rediger] Oppgave 1

[rediger] a)

$V(x)= (10-0,1x^2)^3 \quad 0\leq x \leq 10$


$V(0) = 10^3 = 1000$

Tanken rommer 1000 liter.

[rediger] b)

2p-v19-2-1-b.png

[rediger] c)

Fra figuren i b ser man at det tar 5,13 minutter i desimal tid. Vi gjør 0,13 om til sekunder:

$\frac{13}{100} =\frac {x}{60} \\ x =7,8$

Det tar 5 minutter og 8 sekunder før det er 400 liter igjen i tanken.

[rediger] d)

1000 liter tømmes på 10 minutter. Det blir i gjennomsnitt 1000 liter/ 10 min som er 100 L/min.

[rediger] e)

Se figuren i b: Lag linjen x=3 og finn skjæring med grafen. I punktet lager man tangenten til grafen. Stigningen til tangenten i punktet er den momentane veksten for x =3. Den er - 149. Det betyr at akkurat når det har gått 3 minutter tømmes tanken med en fart på 149 L/ min.


[rediger] Oppgave 2

[rediger] Oppgave 3

[rediger] a)

5,3 millioner = 5 300 000 = $ 5,3 \cdot 10^6$

Dette er en litt uklar oppgave, men her antar man at det er plasten i en vegg som er 0,035mm, da blir tykkelsen av en pose 0,070 mm.

180 poser med en høyde på 0,07 mm = 0,00007 meter = $7,0 \cdot 10^{-5}$


Høyde: $h =7,0 \cdot 10^{-5} \cdot 5,3 \cdot 10^6 \cdot 180 m = 66780$ meter.

[rediger] b)

Det er $365 \cdot 24= 8760$ timer i et år. Vi finner hvor mange meter poser som kastes per time i gjennomsnitt: 66740m / 8760 timer = 7,6m/t. Dersom man stabler plastposene oppå hverandre kastet det en stabel på 7,6 meter hver time, i gjennomsnitt. Tar man høyden på Eiffeltårnet og deler på 7,6 m/t finner man hvor mange timer det vil ta før stabelen er like høy som tårnet.

324m : 7,6 m/t = 42,6

Det tar ca. 43 timer, altså under to døgn, før stabelen er like høy som Eiffeltårnet.

[rediger] Oppgave 4

[rediger] a)

2p-v19-2-4-a.png

Bruker regresjon i Geogebra. a = 0,01 og b = 3.

[rediger] b)

Vi bruker vekstfaktor. 25% tilsvarer vekstfaktor 1,25. $1,25^3 = 1,95$ som tilsvarer 95% eller nesten en dobling. Når lengden øker med 25% får vi nesten en dobling (95%) av vekten.

[rediger] Oppgave 5

[rediger] a)

Utgangsprisen er 800 kr. For hver time som går, halveres prisen. Halvparten av 50 kr. er 25 kr. og halvparten av det er 12,50. Dvs. kl 02:00 er prisen 13 kroner (50 øren er historie).

[rediger] b)

Dette er en verdi som reduseres med 50% hver time: $f(x) = 800 \cdot 0,5^x$. Vekstfaktoren er 0,5 og x er tiden i timer.

[rediger] Oppgave 6

[rediger] a)

[rediger] b)

[rediger] 1

Er ikke mulig. Da burde gjennomsnittet i Idas poser være større enn Emils.

[rediger] 2

Det er ikke mulig for da ville standardavviket være null.

[rediger] 3

Det kan være mulig. Da er det stor spredning på resterende poser.

[rediger] Oppgave 7

Situasjon 1:

Dette er en lineær sammenheng. 9 kroner er konstantleddet, og stigningstallet er 15 kroner. x er antall hektogram. Kurve H beskriver situasjonen.

Situasjon 2

Når en størrelse vokser med en fast prosent, vil det si at den vokser eksponentielt. Graf B beskriver forløpet.


Situasjon 3

Et eksempel på at det lønner seg å følge med i naturfagtimene også :-) Når noe først vokser tilnærmet eksponentielt, for så å stabilisere seg har man det man i naturfag kaller sigmoid vekst som beskrives med en såkalt S kurve. I matematikken kalles dette for logistisk modell. Den kurven som passer best er graf F.


Situasjon 4

Vi tenker på prisen det koster å sende pakke som y verdien. Vi ser at det kun er tre forskjellige verdier som ikke er kontinuerlige. Hver av prisene gjelder innen et vekt intervall. Graf C passer.