Forskjell mellom versjoner av «2P 2020 høst LØSNING»

Fra Matematikk.net
Hopp til:navigasjon, søk
 
(33 mellomliggende revisjoner av samme bruker vises ikke)
Linje 43: Linje 43:
  
 
===a)===
 
===a)===
 +
  
 
{| width="auto"  
 
{| width="auto"  
Linje 81: Linje 82:
  
 
===b)===
 
===b)===
 +
 +
 +
{| width="auto"
 +
| Høyde i cm
 +
| Klassebredde, $b$
 +
| Frekvens, $f$
 +
| Histogramhøyde, $\frac{f}{b}$
 +
|-
 +
| $[150,160\rangle$
 +
| $160-150=10$
 +
| $10$
 +
| $\frac{10}{10}=1$
 +
|-
 +
|$[160,170\rangle$
 +
|$170-160=10$
 +
|$30$
 +
|$\frac{30}{10}=3$
 +
|-
 +
|$[170,180\rangle$
 +
|$180-170=10$
 +
|$50$
 +
|$\frac{50}{10}=5$
 +
|-
 +
|$[180,200\rangle$
 +
|$200-180=20$
 +
|$10$
 +
|$\frac{10}{20}=0,5$
 +
|}
 +
 +
[[File: 2P_H20_del1_3b.png]]
 +
 +
PS: du må tegne histogrammet for hånd, siden dette er del 1.
 +
 +
==Oppgave 4==
 +
 +
NB: siden dette er del 1, må du lage en skisse av disse grafene for hånd. Du må angi hvilke størrelser som er på x- og y-aksen, og skrive noen tall som passer på x- og y-aksen, spesielt i skjæringspunktene mellom grafen og aksene.
 +
 +
Situasjon 1: en eksponentiell modell beskriver bilens verdi som funksjon av x antall år.
 +
 +
[[File: 2P_H20_del1_4a.png]]
 +
 +
Situasjon 2: en andregradsfunksjon beskriver spydets høyde som en funksjon av avstanden fra Sigurd.
 +
 +
[[File: 2P_H20_del1_4b.png]]
 +
 +
Situasjon 3: en omvendt proporsjonal funksjon beskriver hvor mye hver elev må betale som funksjon av antall elever som blir med på gaven.
 +
 +
[[File: 2P_H20_del1_4c.png]]
 +
 +
Situasjon 4: en lineær funksjon beskriver hvor mange høydemeter Ulrikke befinner seg på som funksjon av tiden.
 +
 +
[[File: 2P_H20_del1_4d.png]]
 +
 +
==Oppgave 5==
 +
 +
Velger punktet (1989, 18 000) som startpunkt, og punktet (2019, 30 000) som sluttpunkt.
 +
 +
Finner stigningstallet til en rett linje som går gjennom de to punktene:
 +
 +
$a=\frac{y_2-y_2}{x_2-x_1}=\frac{30000-18000}{2019-1989}=\frac{12000}{30}=400$
 +
 +
En lineær modell som tilnærmet beskriver utviklingen i denne perioden er $y=400x+18000$, der x er antall år etter 1989.
 +
 +
==Oppgave 6==
 +
 +
===a)===
 +
 +
[[File: 2P_H20_del1_6.png]]
 +
 +
Tegner figur 4, og teller antall sirkler. Det vil være 49 sirkler i figur 4.
 +
 +
===b)===
 +
 +
Legger sammen lyse sirkler i "halen"+ lyse sirkler i "kroppen" + mørke sirkler for alle figurene, og prøver å finne et mønster.
 +
 +
Figur 1: $2+1+4 = 2\cdot1+1\cdot1+2\cdot2 = 7$
 +
 +
Figur 2: $4+4+9 = 2\cdot2+2\cdot2+3\cdot3 = 17$
 +
 +
Figur 3: $6+9+16 = 2\cdot3+3\cdot3+4\cdot4=31$
 +
 +
Figur 4: $8+16+25= 2\cdot4+4\cdot4+5\cdot5=49$
 +
 +
Figur n: $\quad 2\cdot n+n\cdot n+(n+1)\cdot(n+1) \\ =2n+n^2+ (n^2+2n+1) \\ = 2n^2+4n+1$
 +
 +
Antall sirkler i figur n kan uttrykkes ved $F_n=2n^2+4n+1$.
 +
 +
===c)===
 +
 +
$F_n=2n^2+4n+1 \\ F_{20} = 2\cdot 20^2 + 4\cdot 20 + 1 = 2\cdot 400+80+1=881$
 +
 +
Det vil være 881 sirkler i figur 20.
 +
 +
=DEL 2=
 +
 +
==Oppgave 1==
 +
 +
===a)===
 +
 +
Tegner grafen til V i Geogebra.
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_1a.png]]
 +
 +
===b)===
 +
 +
Finner skjæringspunktet med y-aksen, A=(0,1800). Det betyr at det var 1800 L vann i badestampen til å begynne med. 900 L tilsvarer da halvparten av vannet.
 +
 +
Lager linjen y = 900, og finner skjæringspunktet mellom denne linjen med grafen til V, B=(8.79, 900).
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_1b.png]]
 +
 +
Det tar 8,79 minutter, det vil si omtrent 8 minutter og 47 sekunder, å tappe ut halvparten av vannet. ($0,79min\cdot 60sek/min=47 sek$).
 +
 +
===c)===
 +
 +
Finner skjæringspunktet med x-aksen, C=(30,0). Lager en linje som går gjennom punkt A og C med knappen "linje", og finner stigningen til linjen med knappen "stigning". Stigningstallet a = -60.
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_1c.png]]
 +
 +
Det renner ut i gjennomsnitt 60 L vann per minutt fra Kari åpner kranen, til badestampen er tom.
 +
 +
===d)===
 +
 +
Lager punktet D=(15,V(15)). Lager tangenten med kommandoen "Tangent(punkt, funksjon)". Finner stigningstallet til tangenten med knappen "stigning". Stigningstallet a1 = -60.
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_1d.png]]
 +
 +
Den momentane vekstfarten til funksjonen V når x = 15 er -60 liter vann per minutt. Det betyr at 15 minutter etter at Kari har åpnet kranen, renner det ut 60 L vann per minutt.
 +
 +
==Oppgave 2==
 +
 +
$15\,min = \frac{15\,min}{(60\,min/t) \cdot (24\,t/døgn) \cdot (365\,døgn/år)}= \frac{1}{35040} \approx 0,0000285 \, år = 2,85 \cdot 10^{-5} \, år$
 +
 +
15 minutter tilsvarer $ 2,85 \cdot 10^{-5}$ år.
 +
 +
==Oppgave 3==
 +
 +
Vekstfaktor: $1-0,201=0,799$
 +
 +
Antall importerte juletrær i 2009: $\frac{208225}{0,799}=260607$
 +
 +
Det ble importert 260607 juletrær til Norge i 2009.
 +
 +
==Oppgave 4==
 +
 +
===a)===
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_4a1.png]]
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_4a2.png]]
 +
 +
Lager regneark i Excel for å finne beløpet 1. januar 2020. Prøver meg frem til riktig rente i celle B1.
 +
 +
Rentesatsen denne perioden var 2,7%.
 +
 +
===b)===
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_4b1.png]]
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_4b2.png]]
 +
 +
Elin vil ha 149 918,63 kroner på kontoen rett etter at hun har satt inn 10 000 kr første januar 2025.
 +
 +
==Oppgave 5==
 +
 +
===a)===
 +
 +
Bruker Excel.
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_5a1.png]]
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_5a2.png]]
 +
 +
Gjennomsnittlig snødybde på julaften i Oslo de 11 siste årene er 5,45 cm. Standardavviket er 5,73 cm.
 +
 +
Gjennomsnittlig snødybde på julaften i Kautokeino de 11 siste årene er 41 cm. Standardavviket er 9,24 cm.
 +
 +
===b)===
 +
 +
Påstanden er ikke riktig. Standardavviket sier noe om spredningen i tallmaterialet. Vi kan ha et datamateriale med høyt gjennomsnitt, men med mange tilnærmet like verdier; da vil standardavviket være lite selv om gjennomsnittet er høyt. Omvendt kan det være et datamateriale med mange veldig forskjellige verdier, som gir et høyt standardavvik uavhengig av gjennomsnittet.
 +
 +
==Oppgave 6==
 +
 +
===a)===
 +
 +
Bruker Geogebra, legger inn dataene i regnearket, og bruker "regresjonsanalyse".
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_6b.png]]
 +
 +
Jeg velger en potensfunksjon som modell. Denne passer godt med punktene og flater ut etter hvert slik Svein antar. Modellen for antall innbyggere x år etter 1980 er $f(x) = 2033\cdot x^{0,2583}$
 +
 +
===b)===
 +
 +
Det vil være 5585 innbyggere i boliområdet i 2030 (x=50) ifølge modellen (se "symbolsk utregning" nederst på skjermbildet i oppgave a). Dette stemmer godt med Sveins antakelse om at antall innbyggere vil øke, men at økningen vil avta.
 +
 +
==Oppgave 7==
 +
 +
===a)===
 +
 +
Avtale 1: $y=1200\,kr\cdot 28 + 22000\,kr = 55600\,kr$
 +
 +
Avtale 2: $y=600\,kr \cdot 28 + 28000 \, kr= 44800\,kr$
 +
 +
Avtale 3: $y=200\,kr\cdot 28 + 50000\,kr = 55600\,kr$
 +
 +
===b)===
 +
 +
Bruker CAS i Geogebra:
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_7b.png]]
 +
 +
Med avtale 1 kan kunden leie leiligheten i 25 døgn før den totale prisen overstiger 53 000 kroner. For avtale 2 er det 41 døgn, og for avtale 3 er det 15 døgn.
 +
 +
===c)===
 +
 +
Bruker Geogebra og tegner grafen til funksjonene.
 +
 +
[[File: 2P_H20_del2_7c.png]]
 +
 +
Avtale 1 lønner seg frem til 10 døgn leie, Avtale 2 lønner seg fra 10 til 55 døgn leie, og avtale 3 lønner seg fra 55 døgn leie.
 +
 +
==Oppgave 8==
 +
 +
===a)===
 +
 +
Ser på diagrammet for maksimumstemperaturen i Oslo hvert døgn i januar 2020.
 +
 +
Medianen er ca. $5,6^{\circ}C$. Det er representert ved den vannrette streket i den grønne boksen. Jeg vet dette fra å ha sammenlignet med diagrammet for Trondheim, hvor jeg vet at medianen er $6^{\circ}C$.
 +
 +
Gjennomsnittet er ca. $5^{\circ}C$. Det er representert ved krysset i den grønne boksen.
 +
 +
Variasjonsbredden er ca. $9^{\circ}C-1,5^{\circ}C=7,5^{\circ}C$. Det er avstanden mellom største og minste verdi på diagrammet.
 +
 +
Kvartilbredden er ca. $6,9^{\circ}C-3,7^{\circ}C=3,2^{\circ}C$. Det er avstanden mellom største og minste verdi på den grønne boksen (altså 3. og 1. kvartil).
 +
 +
===b)===
 +
 +
Vi ser at 1. kvartil på begge diagrammene er på ca. $3,6^{\circ}C$. Det vil si at en fjerdedel av dagene i januar hadde en maksimumstemperatur på $3,6^{\circ}C$ eller lavere. En fjerdedel av 31 dager er nesten 8 dager.

Nåværende revisjon fra 4. des. 2020 kl. 20:06

oppgaven som pdf

Diskusjon av oppgaven på matteprat

Mer diskusjon av oppgaven på matteprat

Løsningsforslag laget av Marius Nilsen ved Bergen Private Gymnas

DEL 1

Oppgave 1

a)

Rangerer tallene i stigende rekkefølge:

$7\quad10\quad10\quad12\quad12\quad18\quad20\quad20\quad33\quad38$

Medianen er gjennomsnittet av de to midterste tallene: $\frac{12+18}{2}=\frac{30}{2}=15$

Gjennomsnitt: $\frac{7+10+10+12+12+18+20+20+33+38}{10}=\frac{180}{10}=18$

Medianen er 15 og gjennomsnittet er 18 for antall bilder som passerte i løpet av en periode med grønt lys.

b)

Hvis vi ser på den sorterte listen i a), ser vi at 18 er det sjette tallet. Det betyr at den kumulative frekvensen for 18 passerte biler er 6. Det forteller oss at det passerte 18 eller færre biler i løpet av en periode med grønt lys i 6 av observasjonene.

c)

Dersom tiden med grønt lys var kortet ned med 10 %, antar jeg at medianen og gjennomsnittet også ville synke med 10 %.

Ny median: $15-\frac{10\cdot 15}{100} = 15-1,5 = 13,5$ passerte biler i løpet av en periode med grønt lys.

Nytt gjennomsnitt: $18-\frac{10\cdot 18}{100}=18-1,8=16,2$ passerte biler i løpet av en periode med grønt lys.

Oppgave 2

$\frac{5\cdot 10^{12}+3,1\cdot 10^{13}}{1,8\cdot 10^7} = \frac{0,5\cdot 10^{13}+3,1\cdot 10^{13}}{1,8\cdot 10^7} = \frac{(0,5+ 3,1)\cdot 10^{13}}{1,8\cdot 10^7} = \frac{3,6\cdot 10^{13}}{1,8\cdot 10^7} = 2\cdot 10^{13-7} = 2\cdot 10^6 $

Oppgave 3

a)

Høyde i cm Klassemidtpunkt, $x_m$ Frekvens, $f$ $f\cdot x_m$
$[150,160\rangle$ $155$ $10$ $1550$
$[160,170\rangle$ $165$ $30$ $4950$
$[170,180\rangle$ $175$ $50$ $8750$
$[180,200\rangle$ $190$ $10$ $1900$
Sum $100$ $17150$

Gjennomsnitt: $\frac{17150}{100}=171,5\,cm$

Gjennomsnittshøyden til elevene ved skolen er 171,5 cm.

b)

Høyde i cm Klassebredde, $b$ Frekvens, $f$ Histogramhøyde, $\frac{f}{b}$
$[150,160\rangle$ $160-150=10$ $10$ $\frac{10}{10}=1$
$[160,170\rangle$ $170-160=10$ $30$ $\frac{30}{10}=3$
$[170,180\rangle$ $180-170=10$ $50$ $\frac{50}{10}=5$
$[180,200\rangle$ $200-180=20$ $10$ $\frac{10}{20}=0,5$

2P H20 del1 3b.png

PS: du må tegne histogrammet for hånd, siden dette er del 1.

Oppgave 4

NB: siden dette er del 1, må du lage en skisse av disse grafene for hånd. Du må angi hvilke størrelser som er på x- og y-aksen, og skrive noen tall som passer på x- og y-aksen, spesielt i skjæringspunktene mellom grafen og aksene.

Situasjon 1: en eksponentiell modell beskriver bilens verdi som funksjon av x antall år.

2P H20 del1 4a.png

Situasjon 2: en andregradsfunksjon beskriver spydets høyde som en funksjon av avstanden fra Sigurd.

2P H20 del1 4b.png

Situasjon 3: en omvendt proporsjonal funksjon beskriver hvor mye hver elev må betale som funksjon av antall elever som blir med på gaven.

2P H20 del1 4c.png

Situasjon 4: en lineær funksjon beskriver hvor mange høydemeter Ulrikke befinner seg på som funksjon av tiden.

2P H20 del1 4d.png

Oppgave 5

Velger punktet (1989, 18 000) som startpunkt, og punktet (2019, 30 000) som sluttpunkt.

Finner stigningstallet til en rett linje som går gjennom de to punktene:

$a=\frac{y_2-y_2}{x_2-x_1}=\frac{30000-18000}{2019-1989}=\frac{12000}{30}=400$

En lineær modell som tilnærmet beskriver utviklingen i denne perioden er $y=400x+18000$, der x er antall år etter 1989.

Oppgave 6

a)

2P H20 del1 6.png

Tegner figur 4, og teller antall sirkler. Det vil være 49 sirkler i figur 4.

b)

Legger sammen lyse sirkler i "halen"+ lyse sirkler i "kroppen" + mørke sirkler for alle figurene, og prøver å finne et mønster.

Figur 1: $2+1+4 = 2\cdot1+1\cdot1+2\cdot2 = 7$

Figur 2: $4+4+9 = 2\cdot2+2\cdot2+3\cdot3 = 17$

Figur 3: $6+9+16 = 2\cdot3+3\cdot3+4\cdot4=31$

Figur 4: $8+16+25= 2\cdot4+4\cdot4+5\cdot5=49$

Figur n: $\quad 2\cdot n+n\cdot n+(n+1)\cdot(n+1) \\ =2n+n^2+ (n^2+2n+1) \\ = 2n^2+4n+1$

Antall sirkler i figur n kan uttrykkes ved $F_n=2n^2+4n+1$.

c)

$F_n=2n^2+4n+1 \\ F_{20} = 2\cdot 20^2 + 4\cdot 20 + 1 = 2\cdot 400+80+1=881$

Det vil være 881 sirkler i figur 20.

DEL 2

Oppgave 1

a)

Tegner grafen til V i Geogebra.

2P H20 del2 1a.png

b)

Finner skjæringspunktet med y-aksen, A=(0,1800). Det betyr at det var 1800 L vann i badestampen til å begynne med. 900 L tilsvarer da halvparten av vannet.

Lager linjen y = 900, og finner skjæringspunktet mellom denne linjen med grafen til V, B=(8.79, 900).

2P H20 del2 1b.png

Det tar 8,79 minutter, det vil si omtrent 8 minutter og 47 sekunder, å tappe ut halvparten av vannet. ($0,79min\cdot 60sek/min=47 sek$).

c)

Finner skjæringspunktet med x-aksen, C=(30,0). Lager en linje som går gjennom punkt A og C med knappen "linje", og finner stigningen til linjen med knappen "stigning". Stigningstallet a = -60.

2P H20 del2 1c.png

Det renner ut i gjennomsnitt 60 L vann per minutt fra Kari åpner kranen, til badestampen er tom.

d)

Lager punktet D=(15,V(15)). Lager tangenten med kommandoen "Tangent(punkt, funksjon)". Finner stigningstallet til tangenten med knappen "stigning". Stigningstallet a1 = -60.

2P H20 del2 1d.png

Den momentane vekstfarten til funksjonen V når x = 15 er -60 liter vann per minutt. Det betyr at 15 minutter etter at Kari har åpnet kranen, renner det ut 60 L vann per minutt.

Oppgave 2

$15\,min = \frac{15\,min}{(60\,min/t) \cdot (24\,t/døgn) \cdot (365\,døgn/år)}= \frac{1}{35040} \approx 0,0000285 \, år = 2,85 \cdot 10^{-5} \, år$

15 minutter tilsvarer $ 2,85 \cdot 10^{-5}$ år.

Oppgave 3

Vekstfaktor: $1-0,201=0,799$

Antall importerte juletrær i 2009: $\frac{208225}{0,799}=260607$

Det ble importert 260607 juletrær til Norge i 2009.

Oppgave 4

a)

2P H20 del2 4a1.png

2P H20 del2 4a2.png

Lager regneark i Excel for å finne beløpet 1. januar 2020. Prøver meg frem til riktig rente i celle B1.

Rentesatsen denne perioden var 2,7%.

b)

2P H20 del2 4b1.png

2P H20 del2 4b2.png

Elin vil ha 149 918,63 kroner på kontoen rett etter at hun har satt inn 10 000 kr første januar 2025.

Oppgave 5

a)

Bruker Excel.

2P H20 del2 5a1.png

2P H20 del2 5a2.png

Gjennomsnittlig snødybde på julaften i Oslo de 11 siste årene er 5,45 cm. Standardavviket er 5,73 cm.

Gjennomsnittlig snødybde på julaften i Kautokeino de 11 siste årene er 41 cm. Standardavviket er 9,24 cm.

b)

Påstanden er ikke riktig. Standardavviket sier noe om spredningen i tallmaterialet. Vi kan ha et datamateriale med høyt gjennomsnitt, men med mange tilnærmet like verdier; da vil standardavviket være lite selv om gjennomsnittet er høyt. Omvendt kan det være et datamateriale med mange veldig forskjellige verdier, som gir et høyt standardavvik uavhengig av gjennomsnittet.

Oppgave 6

a)

Bruker Geogebra, legger inn dataene i regnearket, og bruker "regresjonsanalyse".

2P H20 del2 6b.png

Jeg velger en potensfunksjon som modell. Denne passer godt med punktene og flater ut etter hvert slik Svein antar. Modellen for antall innbyggere x år etter 1980 er $f(x) = 2033\cdot x^{0,2583}$

b)

Det vil være 5585 innbyggere i boliområdet i 2030 (x=50) ifølge modellen (se "symbolsk utregning" nederst på skjermbildet i oppgave a). Dette stemmer godt med Sveins antakelse om at antall innbyggere vil øke, men at økningen vil avta.

Oppgave 7

a)

Avtale 1: $y=1200\,kr\cdot 28 + 22000\,kr = 55600\,kr$

Avtale 2: $y=600\,kr \cdot 28 + 28000 \, kr= 44800\,kr$

Avtale 3: $y=200\,kr\cdot 28 + 50000\,kr = 55600\,kr$

b)

Bruker CAS i Geogebra:

2P H20 del2 7b.png

Med avtale 1 kan kunden leie leiligheten i 25 døgn før den totale prisen overstiger 53 000 kroner. For avtale 2 er det 41 døgn, og for avtale 3 er det 15 døgn.

c)

Bruker Geogebra og tegner grafen til funksjonene.

2P H20 del2 7c.png

Avtale 1 lønner seg frem til 10 døgn leie, Avtale 2 lønner seg fra 10 til 55 døgn leie, og avtale 3 lønner seg fra 55 døgn leie.

Oppgave 8

a)

Ser på diagrammet for maksimumstemperaturen i Oslo hvert døgn i januar 2020.

Medianen er ca. $5,6^{\circ}C$. Det er representert ved den vannrette streket i den grønne boksen. Jeg vet dette fra å ha sammenlignet med diagrammet for Trondheim, hvor jeg vet at medianen er $6^{\circ}C$.

Gjennomsnittet er ca. $5^{\circ}C$. Det er representert ved krysset i den grønne boksen.

Variasjonsbredden er ca. $9^{\circ}C-1,5^{\circ}C=7,5^{\circ}C$. Det er avstanden mellom største og minste verdi på diagrammet.

Kvartilbredden er ca. $6,9^{\circ}C-3,7^{\circ}C=3,2^{\circ}C$. Det er avstanden mellom største og minste verdi på den grønne boksen (altså 3. og 1. kvartil).

b)

Vi ser at 1. kvartil på begge diagrammene er på ca. $3,6^{\circ}C$. Det vil si at en fjerdedel av dagene i januar hadde en maksimumstemperatur på $3,6^{\circ}C$ eller lavere. En fjerdedel av 31 dager er nesten 8 dager.

Hentet fra «https://matematikk.net/w/index.php?title=2P_2020_høst_LØSNING&oldid=25227»
Powered by MediaWiki