Forskjell mellom versjoner av «Bevis for derivasjon av produkt»
| (Én mellomliggende revisjon av samme bruker vises ikke) | |||
| Linje 23: | Linje 23: | ||
</math><br><br><br> | </math><br><br><br> | ||
Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man | Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man | ||
| − | gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</math> i brøkens teller.<br> | + | gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</math> i brøkens teller. Vi legger til null.<br> |
Man får da:<br><br><math> | Man får da:<br><br><math> | ||
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} | ||
<br><br> | <br><br> | ||
| − | = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) -g (x)h(x)}{\Delta x} | + | = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + {\color{red}( } g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) {\color{red})} -g (x)h(x)}{\Delta x} |
</math> | </math> | ||
<br><br><br> | <br><br><br> | ||
| Linje 40: | Linje 40: | ||
Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer. | Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer. | ||
| + | |||
[[ Derivasjonsregler ]] | [[ Derivasjonsregler ]] | ||
Nåværende revisjon fra 25. sep. 2017 kl. 00:48
Vi har:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
</math> dersom grensen eksisterer.
Videre har man at:
<math>
f(x)=g(x) \cdot h(x)</math>
og
<math>
g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</math>
og
<math>
h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x}
</math>
Som gir:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x}
</math>
Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man
gjøre ved å legge til og trekke fra <math>g(x)h(x+ \Delta x )</math> i brøkens teller. Vi legger til null.
Man får da:
<math>
f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + {\color{red}( } g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) {\color{red})} -g (x)h(x)}{\Delta x}
</math>
<math>
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x}
\\
= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x)
\\
=g'(x)h(x) + h'(x) g(x)
</math>
Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer.
