Bevis for derivasjon av produkt

Vi har:

<tex> f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x} </tex> dersom grensen eksisterer.

Videre har man at:


<tex> f(x)=g(x) \cdot h(x)</tex>
og

<tex> g'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x+ \Delta x )-g (x)}{\Delta x}</tex> og <tex> h'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{h(x+ \Delta x )-h(x)}{\Delta x} </tex>
Som gir:

<tex> f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x )-g (x)h(x)}{\Delta x} </tex>


Man må knytte uttrykket for f'(x) opp mot g'(x) og h'(x). Det kan man gjøre ved å legge til og trekke fra <tex>g(x)h(x+ \Delta x )</tex> i brøkens teller.
Man får da:

<tex> f'(x)= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+ \Delta x )-f (x)}{\Delta x}

= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{g(x+ \Delta x )h(x+ \Delta x ) + g(x)h(x+ \Delta x )-g(x)h(x+ \Delta x ) -g (x)h(x)}{\Delta x} </tex>


<tex> = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x))h(x+ \Delta x) +(h(x+ \Delta x ) -h(x))g(x)}{\Delta x}


= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(g(x+ \Delta x ) -g(x)}{\Delta x}\lim_{\Delta x \to 0}h(x+ \Delta x)+ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{h(x+ \Delta x)-h(x)}{\Delta x}g(x)


=g'(x)h(x)+h'(x)g(x)
</tex>
Det forutsettes at g'(x) og h'(x) eksisterer.