Løsning 1T Høst 10

Del 1

Oppgave 1a

<math> \left[ x + y = 4 \\ 3x - y = 8 \right]</math>

Løser første med hensyn på x:

<math> \left[ x = 4 -y \\ 3x - y = 8 \right]</math>

Setter så inn i den nederste:

<math> \left[ x = 4 -y \\ 3(4-y) - y = 8 \right]</math>

<math> \left[ x = 4 -y \\ 12-4y = 8 \right]</math>

<math> \left[ x = 4 -y \\ y = 1 \right]</math>

<math> \left[ x = 3 \\ y= 1 \right]</math>

Oppgave 1 b

1

Grafisk:

2

Ved regning:

<math> -\frac 14x + 2 = 2x - \frac52 \\ -\frac 14x - 2x = - \frac52 -2 \\ -\frac 94x =- \frac92 \\9x =18 \\ x= 2</math>

Oppgave 1 c

<math> 5,7 \cdot 10^4 + 3,0 \cdot 10^3 =5,7 \cdot 10^4 + 0,3 \cdot 10^4 = (5,7+0,3)10^4 = 6,0 \cdot 10^4 </math>

Oppgave 1 d

<math> \frac {3}{x+4} + \frac{24}{x^2-16} = \frac {3}{x+4} + \frac{24}{(x+4)(x-4)} = \frac {3(x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{24}{(x+4)(x-4)} = \\ \frac{3x +12}{(x+4)(x-4)} =\frac{3 (x + 4)}{(x+4)(x-4)}= \frac {3}{x-4} </math>

Oppgave 1 e

Faktoriserer først andregradsuttrykket:

<math>x= \frac{-2 \pm \sqrt{4-(-32)}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}\\ x= -4 \vee x=2 </math>

<math> x^2+2x-8 \geq 0 \\ (x+4)(x-2) \geq 0

</math>

<math> x \in < \leftarrow, -4> \cup < 2, \rightarrow></math>

Oppgave 1 f

Her må man huske at tangens til en vinkel er motstående katet delt på hosliggende katet. Det er altså en vinkel i en rettvinklet trekant.

Oppgave 1 g

1

For at situasjonen skal være oppfylt må han først trekke en bit han liker, så må han trekke en til som han liker. Sannsynligheten for det er <math>P(liker begge)= \frac{16}{25}\cdot \frac{15}{24}=\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{3}= \frac 25</math>

2

Det finnes to mulige måter å gjøre det på. Først kan han trekke en bit han liker, så en han ikke liker. Eller han kan trekke en bit han ikke liker, så en han liker. Summen av disse to mulighetene gir oss sannsynligheten for at han bare trekker en bit han liker.

<math>P(likerbareen) = \frac{16}{25} \cdot \frac{9}{24} + \frac{9}{25} \cdot \frac{16}{24}= \frac{12}{25}</math>

---

Oppgave 2 a

<math>f(x)= \frac13x^3-x^2+7</math>

Vi deriverer f og finner f'(1).

<math>f'(x)=x^2-2x</math>

<math>f'(1)=(1)^2-2(1)=-1</math>

Oppgave 2 b

<math> f(0) = 7</math> og <math> f(3) = 7</math>

Den gjennomsnittlige veksten mellom 0 og 3 er null. Veksten i x=1 var -1, det kan tyde på at funksjonen har et minimumspunkt (bunnpunkt) i intervallet fra 0 til 3.

Oppgave 2 c

<math>f'(x)= 0 \\ x^2-2x=0 \\ x(x-2)=0 \\ x = 0 \vee x= 2</math>

Koordinatene blir da (0, f(0)) som er (1,7) og (2, f(2)) som er <math>(2, 5\frac23)</math>

Siden funksjonen avtar for x=1 må f(0) være et maksimum og f(2)et minimum.

---

Oppgave 3

a

b

Det tar 5730 år. Det kan man lese av grafen i a eller man kan sjekke hvilken x verdi som får eksponenten i funksjonsuttrykket til å bli en.

c

<math> T(x)= 86,5 \\ 86,5 = 100 \cdot 0,5^{\frac{x}{5730}}\\ 0,865 = 0,5^{\frac{x}{5730}}\\ x= 5730 \cdot \frac{lg0,865}{lg0,5} \approx 1200

</math>

Dvs ca. 1200 år.

Oppgave 4

a)

<math> \frac {x}{10}= tan51,3 \\ x = 10 tan51,3 \\

x = 12,5</math>

Flaggstangen er ca 12,5 meter høy.